Тема 9. Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ n-го порядка записывается в виде
. (9.1)
Например, ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
(9.2)
или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей производной: .
Решением ДУназывается всякая функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общее решение ДУ n-го порядкаявляется функцией вида , содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.
Решить ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Уравнение вида .(9.3)
Порядок можно понизить, введя новую функцию , положив
. Тогда
и получаем ДУ первого порядка:
. Решив его, т.е. найдя функцию
, решим уравнение
. Получим общее решение заданного уравнения
.
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно последовательного интегрирования.
Т.к. , уравнение (9.3) можно записать в виде
. Тогда, интегрируя уравнение
, получаем:
, или
. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим:
, т.е.
- общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение , то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдём общее решение уравнения:
.
2. Уравнение вида , (9.4)
не содержащее явно искомой функции y.
Обозначим , где
- новая известная функция. Тогда
и уравнение (9.4) принимает вид
. Пусть
- общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на
, получаем ДУ:
. Оно имеет вид (9.3). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13.2) будет иметь вид
.
Частным случаем уравнения (9.4) является уравнение , не содержащее независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом:
,
. Получаем уравнение
с разделяющими переменными.
3. Уравнение вида , (9.5)
не содержащее явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию , зависящую от переменной у, полагая
. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что
:
,
т.е. . Теперь уравнение (13.3) запишется в виде
. Пусть
- общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию
на
, получаем
- ДУ с разделяющимися переменными:
Интегрируя полученное уравнение, находим общий интеграл уравнения (9.5):
.
Частным случаем уравнения (13.3) является ДУ . Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки:
,
.
1.Решите уравнения:
а) .
Решение. Имеем уравнение первого типа (9.3). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
,
,
,
- общее решение ДУ четвёртого порядка.
б) .
Решение. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию у. Значит, имеем уравнение второго типа (9.3). Полагаем , где
,
.
Тогда . Это уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получим
Возвращаясь к исходной переменной, получим
Интегрируя, получим
- общее решение ДУ второго порядка.
2.Найдите частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:
.
Решение. Уравнение имеет вид (9.5). Положив ,
, получаем:
или
.
Отсюда находим р:
Следовательно, .
Подставив начальные данные, получим:
.
Отсюда
Подставляем начальные данные:
.
Таким образом, частное решение имеет вид