Тема 9. Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ n-го порядка записывается в виде
. (9.1)
Например, ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде
(9.2)
или, если это возможно, в виде, разрешённом относительно старшей производной: 
.
Решением ДУназывается всякая функция 
, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общее решение ДУ n-го порядкаявляется функцией вида 
, содержащей n произвольных, не зависящих от х постоянных.
Решить ДУ n-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение в зависимости от того, заданы начальные условия или нет.
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Уравнение вида 
.(9.3)
Порядок можно понизить, введя новую функцию 
, положив 
. Тогда 
и получаем ДУ первого порядка: 
. Решив его, т.е. найдя функцию 
, решим уравнение . Получим общее решение заданного уравнения .
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно последовательного интегрирования.
Т.к. 
, уравнение (9.3) можно записать в виде 
. Тогда, интегрируя уравнение , получаем: 
, или 
. Далее, интегрируя полученное уравнение по х, находим: 
, т.е. 
- общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение 
, то, проинтегрировав его последовательно n раз, найдём общее решение уравнения: 
.
2. Уравнение вида 
, (9.4)
не содержащее явно искомой функции y.
Обозначим 
, где - новая известная функция. Тогда 
и уравнение (9.4) принимает вид 
. Пусть 
- общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на 
, получаем ДУ: 
. Оно имеет вид (9.3). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13.2) будет иметь вид 
.
Частным случаем уравнения (9.4) является уравнение 
, не содержащее независимую переменную х. Оно интегрируется тем же способом: , 
. Получаем уравнение 
с разделяющими переменными.
3. Уравнение вида 
, (9.5)
не содержащее явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введём новую функцию 
, зависящую от переменной у, полагая . Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что 
:
,
т.е. 
. Теперь уравнение (13.3) запишется в виде 
. Пусть 
- общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию 
на , получаем 
- ДУ с разделяющимися переменными:
Интегрируя полученное уравнение, находим общий интеграл уравнения (9.5):
.
Частным случаем уравнения (13.3) является ДУ 
. Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: 
, 
.
1.Решите уравнения:
а) 
.
Решение. Имеем уравнение первого типа (9.3). Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
,
,
,
- общее решение ДУ четвёртого порядка.
б) 
.
Решение. Данное уравнение не содержит явно искомую функцию у. Значит, имеем уравнение второго типа (9.3). Полагаем , где , .
Тогда 
. Это уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получим
Возвращаясь к исходной переменной, получим
Интегрируя, получим
- общее решение ДУ второго порядка.
2.Найдите частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям: 
.
Решение. Уравнение имеет вид (9.5). Положив , , получаем:
или 
.
Отсюда находим р:
Следовательно, 
.
Подставив начальные данные, получим:
.
Отсюда
Подставляем начальные данные:
.
Таким образом, частное решение имеет вид 