Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами.

Неформальные логики в системном анализе

Вопрос1

Основные определения и операции на нечетких множествах. Принципы обобщения и декомпозиции. Триангулярные нормы и алгебра де Моргана.

Л. Заде расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0; 1], а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Он определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Нечеткие множества

Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

где —характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар

где — характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

 

Примеры записи нечеткого множества

Пусть — нечеткое множество, для которого

Тогда А можно представить в виде

или

или

Пример

Пусть Е = {ЗАПОРОЖЕЦ,ЖИГУЛИ, МЕРСЕДЕС,...} —множество марок автомобилей, а Е' = [0, оо) — универсальное множество «Стоимость», тогда на Е' мы можем определить нечеткие множества типа:

Рис. 1.1. Примеры функций принадлежности

«Для бедных», «Для среднего класса», «Престижные», с функциями принадлежности вида рис. 1.1.

Операции над нечеткими множествами

Логические операции

Включение. Пусть А и В — нечеткие множества на универсальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если

Обозначение:

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, когда А С В, говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если .

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = [0, 1], А и В — нечеткие множества,

заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если

Обозначение: или .

Очевидно, что (дополнение определено для М = [0, 1],

но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного М).

Пересечение. — наибольшее нечеткое подмножество,

содержащееся одновременно в А и В:

Объединение. — наименьшее нечеткое подмножество,

включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность. с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

с функцией принадлежности:

Примеры.

Пусть

Здесь:

1) , т. е. А содержится в В или В доминирует А; С несравнимо

ни с А, ни с В, т.е. пары {А, С} и {А, С} — пары недоминируемых

нечетких множеств.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами.

Для нечетких множеств

можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь-

прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются

значения на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс.

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: a — нечеткое множествоА; б — нечеткое множество ; в — ; г —

На рис. 1.3а заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.35, в, г

даны А, АП А, Аи А.

Свойства операций

Пусть А, В, С — нечеткие множества, тогда выполняются сле-

следующие свойства:

1.

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Замечание. Введенные выше операции над нечеткими множествами основаны на использовании операций max и min. В теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t-нормой) называется двуместная действительная функция удовлетворяющая

следующим условиям:

1) —ограниченность;

2) — монотонность;

3) — коммутативность;

4) — ассоциативность;

Примеры треугольных норм