Алгебраические операции над нечеткими множествами
Алгебраическое произведение А и В обозначается 
и определяется так: 
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается 
и определяется так: 
Для операций {•, +} выполняются свойства:
1) 
2). 
3) 
4) 
Не выполняются:
1)идемпотентность;
2) дистрибутивность;
3) 
Замечание. При совместном использовании операций 
выполняются свойства:
На основе операции алгебраического произведения определяется операция возведения в степень а нечеткого множества А, где a — положительное число. Частным случаем
возведения в степень являются:
1) CON (А) = А2 — операция концентрирования (уплотнения);
2) DIL (А) = А0'5 — операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями (рис. 1.4).
Умножение на число. Если а — положительное число, такое,
что 
, то нечеткое множество 
имеет функцию принадлежности:
Декартово (прямое) произведение нечетких множеств.
Пусть 
— нечеткие подмножества универсальных
множеств 
соответственно. Декартово, или прямое
произведение 
является нечетким подмножеством множества 
с функцией принадлежности:
Нечеткая и лингвистическая переменные
Четкое множество 
-уровня (или уровня 
). Множеством -уровня нечеткого множества А универсального множества Е называется четкое подмножество 
универсального множества Е,
определяемое в виде
где 
Декомпозиция
Любое нечеткое множество А можно представить в виде
Нечеткая и лингвистическая переменные
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой 
, где 
- наименование переменной; X — универсальное множество (область определения ); А — нечеткое множество на X, описывающее ограничения на значения нечеткой переменной .
Нечеткие числа — нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности 
действительное число, т.е. 
Операции над нечеткими числами. Расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.
Пусть Аи В — нечеткие числа, и 
- нечеткая операция, соответствующая произвольной алгебраической операции * над обычными числами. Тогда (используя здесь и в дальнейшем обозначения 
вместо 
и 
вместо 
) можно записать
Отсюда:
Вопрос2