Вектор. Линейные операции над векторами
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец –– в точке В, то вектор обозначается 
. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита 
…. На рисунке направление вектора изображается стрелкой (рис. 1).
Рис. 1
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается 
. Его направление является неопределённым. Другими словами, такому вектору можно приписать любое направление.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости.
Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине. На рис. 2 изображены пары равных векторов 
и 
( 
), 
и 
( 
). Из определения равенства векторов следует, что векторы можно переносить параллельно самим себе, не нарушая их равенства.
Рис. 2
Координатами вектора называются его проекции на оси координат Ox,Oy,Oz. Они обозначаются соответственно буквами x, y, z: 
.
Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи | 
| и | | обозначают модули векторов 
и соответственно. Модуль равен квадратному корню из суммы квадратов соответствующих координат вектора
. (2.1)
Единичный вектор или орт – это вектор, длина которого равна единице. Находится по формуле:
. (2.2)
Направление вектора в пространстве определяется углами 
, которые вектор образует с осями координат (рис. 3). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: 
.
Рис. 3
Если определены координаты вектора , тогда
. (2.3)
Свойства направляющих косинусов векторов:
1) 
;
2) координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: 
.
К линейным операциям над векторами относятся: умножение вектора на число и сложение векторов.
Произведением вектора и числа αназывают вектор, обозначаемый α , модуль которого равен |α|| |, а направление совпадает с направлением вектора ,еслиα>0, и противоположно ему, если α<0. Имеем 
для любого вектора .
Суммой векторов 
(i= 
)называется вектор, обозначаемый
. (2.4)
Составим из векторов–слагаемых ломаную линию, совмещая начало следующего вектора с концом предыдущего. Тогда суммой векторов будет являться вектор, начало которого находится в начале первого вектора 
, а конец –– в конце последнего вектора 
ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов (рис. 4).
Рис. 4
Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух неколлинеарных векторов оно равносильно правилу параллелограмма (рис. 5).
Рис. 5
Прямая l с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью l.
Проекцией вектора на ось l называется число, обозначаемое пр 
и равное 
(0 
φ π – угол между положительным направлением оси l и направлением вектора ), т.е. по определению
пр = . (2.5)
Геометрически проекцию вектора можно охарактеризовать длиной отрезка MN, взятой со знаком “+”, если 0 φ 
π/2, и со знаком “–”, если π/2 φ π (рис.6). При φ=π/2 отрезок MN превращается в точку и пр =0.
Рис.6
Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были равны. Если
M 
(x , y , z ) и M 
(x , y , z ), то
= (x –x , y –y , z –z ). (2.6)
Линейной комбинацией векторов 
называется вектор , определяемый по формуле
, (2.7)
где 
– некоторые числа. Если векторы определяются координатами x
, y, z, то для координат вектора имеем:
. (2.8)
Линейные операции над векторами удовлетворяют свойствам, по форме аналогичным свойствам умножения и сложения чисел. Например,
,
,
, (2.9)
,
,
и т.д.
Если для системы n векторов 
равенство
=0(2.10)
верно только в случае, когда =0 для всех значений i, то эта система называется линейно независимой.
Если же равенство (2.10) выполняется для , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов 
называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трёхмерном пространстве всегда линейно зависимы.
Три упорядоченных линейно независимых вектора 
, 
, 
в пространстве называются базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор в пространстве можно разложить по базису , , т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: 
в базисе , , . Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k. В дальнейшем будем использовать только этот базис.