Задания для практических занятий
1.
   
  
| Вспомнить понятия коллинеарности, компланарности.
 ,
 - компланарны
| ||
| 2.
  
|  ,  ,
 - середины соответствующих сторон треугольника АВС. Выразить через  и  векторы  .
| ||
      
    
 
|  ,  , - середины сторон параллелограмма ABCD  соответственно. Выразить через и векторы 
| ||
   4
    
| Выразить каждый из векторов  через остальные.
| ||
5.
       
 
|  ,  ,  ,  - середины сторон параллелепипеда   соответственно. Выразить через  ,  и  векторы  .
| ||
6.
| В параллелепипеде  ,  ,  . Выразить через , и  векторы 
| ||
7.
 
 
 
| В треугольнике АВС  . Известно, что:  .
Выразить вектор  через и .
| ||
8.
   
  
| В параллелограмме ABCD  ,  , . Выразить через и векторы  .
| ||
9.
 
 
    
| В прямоугольном треугольнике АВС:  ,  . Выразить через и векторы  .
| ||
10.
  
  
 
 
|
В трапеции ABCD  ,  . Выразить через и векторы  .
|
11. Вычислить модуль вектора 
.
12. Вычислить модуль и орт вектора 
.
13. Вычислить направляющие косинусы вектора 
.
14. Дан модуль вектора 
и его направляющие косинусы: 
. Вычислить проекции вектора на координатные оси. 
15. При каких значениях 
и 
векторы 
и 
коллинеарные?
16. Дан вектор 
. Векторы 
и коллинеарные. Модуль вектора 
. Найти координаты вектора .
17. Показать, что векторы 
компланарные:
.
18. Показать, что 
коллинеарные:
a) 
,
б) 
.
19. В треугольнике 
точка делит сторону 
в отношении 2 к 3 , считая от вершины . Найти координаты вектора 
в базисе 
.
20. Даны векторы: 
.
а) показать, что 
- базис,
б) найти координаты вектора 
в базисе ,
в) найти координаты вектора в базисе .
21. Дано: 
. Вычислить:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
.
22. Дано: 
. Вычислить:
а) , б) 
, в) 
, г) 
,
д) 
, е) 
.
23. Найти координаты вектора 
, если 
, 
, 
.
24. Дано: 
Найти 
.
25. Дано: 
. Вычислить:
а) 
, б) 
.
26. Дано: 
. Вычислить:
а) 
, б) 
, в) 
, г) 
.
27*. Дано: 
взаимно перпендикулярные орты. Найти 
.
28*. Найти проекцию вектора 
на вектор 
, где 
- взаимно перпендикулярные орты.
29*. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
где 
- взаимно перпендикулярные орты.
30*. Упростить: 
, где 
31*. Вычислить 
, если 
, - взаимно перпендикулярные орты.
32*. Вычислить длину вектора 
, если 
, 
.
33**. Дано: - правая тройка, векторы взаимно перпендикулярны, 
. Выразить каждый из векторов через векторное произведение двух других.
34**. Найти проекцию вектора 
на вектор 
, где 
взаимно перпендикулярные орты.
35**. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 
и 
, где 
.
36**. Найти угол между векторами 
и 
, если 
.
37**. Упростить вектор 
, где - левая тройка, векторы взаимно перпендикулярны, 
.
38**. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
, где 
, 
, 
.
39**. Вычислить длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины , если 
, где 
.
40**. Вычислить длину высоты треугольника АВС, опущенную из вершины , если 
, где 
.
ОТВЕТЫ
Векторная алгебра
2. 
;
3. 
, 
;
4. 
, 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. 
; 12. 
;
13. 
;
14. 
, 
, 
; 15. 
;
16. 
; 17. 
;
18. a) 
; б) 
;
19. 
;
20. a) 
; б) 
в базисе 
; в) 
в базисе 
;
21. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; 22. а) 
;
б) 
; в) 
; г) 
; д) 
;
е) 
; 23. 
; 24. 
;
25. а) 24; б) 60;
26. а) 
; б) 
;
в) 
; г) 28;
27. 
; 28. 
; 29. 
; 30. 104;
31. 
; 32. 
;
33. 
, 
, 
;
34. 
; 35. 
;
36. 
; 37. 
;
38. 
; 39. 
; 40. 
.