РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Практикум
Для студентов факультета заочного обучения
Иваново 2009
Составители: А.С. ЗАЙЦЕВ
В.Е. МИЗОНОВ
В.И. ШАПИН
Редактор А.Б. КОЛОБОВ
Контрольные задачи практикума предназначены для студентов всех специальностей факультета заочного обучения ИГЭУ и могут быть использованы в качестве учебного материала студентами, обучающимися по дневной форме.
Утверждены цикловой методической комиссией электромеханического факультета
Рецензент
кафедра теоретической и прикладной механики ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
![]() |
СОДЕРЖАНИЕ
Указания к выполнению контрольной работы......... | ||
Задача №1. Равновесие плоской системы параллельных сил.................................................................. | ||
Задача №2. Равновесие плоской системы сил (Общий случай)….............................................................. | ||
Задача №3. Кинематика точки…………..…………. | ||
Задача №4. Плоское движение твердого тела……... | ||
Задача №5. Сложное движение точки……………... | ||
Задача №6. Динамика точки……………………….. | ||
Задача №7. Колебания материальной точки………. | ||
Задача № 8. Принцип Даламбера…………………... |
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Контрольная работа студента-заочника состоит из двух частей:
- контрольная работа №1, включающая в себя задачи 1–5 (статика и кинематика);
- контрольная работа №2, состоящая из задач 6–10 (динамика).
Число задач может быть уменьшено решением кафедры, при согласовании с деканатом факультета заочного обучения. В этом случае студенты информируются дополнительным указанием.
Прежде, чем приступить к решению задач, студент должен внимательно изучить следующие темы по учебнику (например, Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. –М,: Высш.шк., 1995).
Статика
- Основные типы связей и их реакции.
- Момент силы, пара сил и их свойства.
- Условия и уравнения равновесия для различных систем сил.
Кинематика
- Кинематика точки.
- Простейшие виды движения твердого тела (поступательное и вращение вокруг твердой оси).
- Плоскопараллельное движение твердого тела.
- Сложное движение точки.
Динамика
- Динамика точки.
- Прямолинейные колебания точки.
- Общие теоремы движения.
- Принцип Даламбера.
Свой вариант студент определяет по двум последним цифрам зачетной книжки (т.е. если, например, номер зачетной книжки заканчивается цифрами 12, то Ваш вариант 12, если 05 – вариант 5 и т.д.).
Если номер зачетной книжки заканчивается числом большим, чем число вариантов задания, то номер Вашего варианта определяется разностью двух последних цифр зачетной книжки и числом вариантов. Например: две последние цифры зачетной книжки – 31. Задание имеет 28 вариантов. Ваш вариант – 3 (31–28=3). Варианты задач указаны на рисунках в кружках.
Многие величины, определяемые в ходе решения, являются векторными, поэтому следует не только найти их модуль, но и указать на рисунке направления этих векторов (а также их компонентов).
Для удобства на каждый тип задач рассмотрен пример. С целью экономии места рисунки заданий примеров часто расположены в тексте решения задачи.
Решения задач следует сопровождать краткими комментариями, рисунки выполняться с помощью чертежных инструментов. Расчеты ведутся с точностью до третьей значащей цифры. Почерк должен быть разборчивым. Если записи допускают двойную трактовку, то они считаются ошибочными.
В тетради должны быть предусмотрены поля для замечаний проверяющего.
Задачи, выполненные с отклонением от вышеизложенных указаний, не проверяются и считаются незачтёнными.
ЗАДАЧА №1
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Определить реакции связей для балок, изображенных на рисунке.
Примечание: каждый вариант включает в себя две схемы балок.
ПРИМЕР 1.
Балка АВ весом Р и длиной l заделана правым концом в стену. В точке А на балку действует вертикальная сила F. Определить реакцию стены.
РЕШЕНИЕ
Отбросим связь–стену и заменим её действие реакцией (рис.в). Горизонтальная составляющая реакции стены равна в данном случае нулю, так как все активные силы, действующие на балку, вертикальны. Реакция стены состоит из вертикальной составляющей RB и пары сил с моментом М.
Выбираем оси координат: ось х направлена по балке АВ, ось у – по вертикали из точки А.
Запишем уравнение равновесия. Для плоской системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия. Возьмём следующие уравнения – сумму проекций сил на ось у и сумму моментов всех сил относительно точки В:
Из первого уравнения находим силу .
Из второго уравнения определяем момент пары сил .
ПРИМЕР 2.
Двухконсольная горизонтальная балка шарнирно закреплена в точке А и опирается на каток в точке В. На балку действует вертикальная сила Р=20 Н, приложенная в точке D, равномерно распределённая вертикальная нагрузка на участке ВС интенсивностью q=25 Н/м и пара сил, момент которой равен М=40 Нм. Длины участков: AD=3 м, АВ=4 м, ВС=3 м. Определить реакции опор, пренебрегая весом балки.
РЕШЕНИЕ
Отбросим мысленно связи и заменим их реакциями. Реакция в точке В RВ направлена по вертикали. Реакция шарнира А может иметь любое направление в плоскости. Поэтому заменяем её двумя составляющими ХА и УА . Распределённую нагрузку заменим силой . Сила Q приложена в середине участка ВС.
Проведем оси координат (рис.в) и запишем уравнения равновесия. Так как проекция силы ХА является единственной силой, проецирующейся на ось Х, то, следовательно, ХА=0.
Заметим, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю, так как силы, образующие пару сил, равны Модулу, параллельны и направлены в противоположные стороны.
Итак, учитывая, что ХА=0, имеем систему параллельных сил. Записываем для такой системы два уравнения равновесия, при этом следует стремиться к таким уравнениям равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина. Для двухопорных балок это сумма моментов относительно опор.
Находим реакции:
Для проверки решения можно составить «лишнее» уравнение равновесия.
Варианты задачи 1.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
ЗАДАЧА №2
РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ
СИСТЕМЫ СИЛ
(общий случай)
Найти реакции связей рамы, схема которой представлена на рисунке.
ПРИМЕР
![]() ![]() ![]() | Дано: F = 10 кН, P = 5 кН, M = 8 кНм, q = 0,5 кН/м. Определить реакцию опоры А и реакцию стержня BD. |
РЕШЕНИЕ
На раму наложены следующие связи: шарнирно-неподвижная опора, стержень BD и нить. Отбросим связи, заменив их силами.
Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то определим её составляющие и
. Реакция стержня
направлена вдоль этого стержня, реакция нити по модулю равна весу груза Р. Распределённую нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой Q, равной
кН и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки. Проводим оси координат.
Для плоской системы сил, приложенных к раме, составим три уравнения равновесия:
; (1)
; (2)
(3)
Момент от силы S найден с использованием теоремы Вариньона: момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих.
Из уравнения (3) находим
Из уравнения (1) –
Из уравнения (2) –
Ответ: ,
,
Знаки минус в значениях ХА и УА указывают на то, что принятые направления этих сил противоположны действительным.
Варианты задачи 2.
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() ![]() ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() ![]() | ||
ЗАДАЧА №3
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
По заданным уравнениям движения точки М найти и изобразить на рисунке вид её траектории. Для момента времени (с) указать положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Указать на рисунке векторы скорости и ускорения, а также все найденные в ходе решения задачи их компоненты.
Варианты задачи 3.
№ варианта | Уравнения движения | ![]() | |
Х=Х(t) м | Y=Y(t) м | ||
![]() | ![]() | 0,5 | |
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | 0,5 | |
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | 0,5 |
№ варианта | Уравнения движения | ![]() | |
Х=Х(t) м | Y=Y(t) м | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | 0,5 | |
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | 0,25 | |
![]() | ![]() |
№ варианта | Уравнения движения | ![]() | |
Х=Х(t) м | Y=Y(t) м | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() |
УКАЗАНИЯ. В некоторых вариантах при определении траектории следует учесть известные из тригонометрии формулы:
Касательное ускорение можно находить по формуле
.
ПРИМЕР
Даны уравнения движения точки в плоскости ху :
,
где х, у – в метрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки для момента времени t1=1 с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
РЕШЕНИЕ
1. Для определения уравнения траектории точки исключаем из уравнений движения t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
или
.
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем их в предыдущее выражение:
Окончательно находим
.
Строим график этой функции, представляющий собой в данном случае параболу.
Определим положение точки на траектории:
м ;
м.
2. Скорость точки найдём по её проекциям на координатные оси:
.
При t = 1 с
vx= 1,11 м/с, vу= 0,73 м/с, v = 1,33 м/с.
3. Аналогично найдём ускорение точки:
При t=1 с
аx= 0,87 м/с2 , ау= –0,12 м/с2 , а = 0,88 м/с2 .
4. Касательное ускорение найдём по формуле
.
Подставляя ранее найденные числовые значения, получаем
м/с2.
5. Нормальное ускорение
.
При t=1 с получаем ан= 0,58 м/с2.
Изобразим вектор ускорения точки и его составляющие, причём правильность решения контролируем как по составляющим и
, так и по
и
, т.е.
.
6. Радиус кривизны траектории .
Подставляя численные значения, находим
м.
Ответ: v = 1,33 м/с, а = 0,88 м/с2 , аt = 0,88 м/с2 , ан= 0,58 м/с2 ,
r = 3,05 м.
ЗАДАЧА №4
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для заданного положения механизма найти:
1. Скорости точек В и С и угловую скорость тела, которому они принадлежат.
2. Ускорение этих точек и угловое ускорение указанного в пункте 1 тела.
Примечание: внимательно ознакомьтесь с указаниями кафедры. Возможно, пункт 2 этой задачи выполнять не следует.
ПРИМЕР
Для кривошипно-ползунного механизма найти скорость и ускорение точки В, а также угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и образуют с горизонтальной осью углы a = 45° и b = 45°.
РЕШЕНИЕ
1. Определение скоростей точек.
Вычисляем скорость пальца А кривошипа 0А. . Вектор
направлен по касательной к траектории, то есть перпендикулярно OA.
Скорость ползуна В направлена по горизонтали. Мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ находится в точке пересечения перпендикуляров, проведённых их точек А и В к их скоростям.
Угловая скорость звена АВ рад/с.
Скорость точки В м/с.
Здесь АРАВ= 1 м и ВРАВ= м находятся из прямоугольного равнобедренного треугольника АВРАВ .
Скорость точки В можно найти также по теореме о проекциях скоростей двух точек:
, отсюда
м/с.
2. Определение ускорения точек.
Ускорение точки А складывается из нормального и касательного ускорений:
;
м/с.
Касательное ускорение , поскольку
, а e0А по условию равняется нулю. Таким образом,
и вектор направлен от А к 0.
Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем
.
Нормальное ускорение В относительно A
м/с2 и направлено от В к А.
Касательное ускорение известно только по направлению (перпендикулярно нормальному), а модель найти пока не имеем возможности, так как неизвестно угловое ускорение шатуна АВ.
Строим многоугольник ускорений. При этом воспользуемся тем, что прямая, по которой направлено ускорение , известна.
Ползун В движется по горизонтальной прямой, вдоль которой направлено и ускорение точки В. Отложим из точки В последовательно векторы и
. Через конец вектора
проведём прямую, перпендикулярную
до пересечения её с прямой, по которой направлено ускорение
.
Проектируя векторное равенство на оси х и у, получаем
;
.
Из этих уравнений найдём аВ и :
м/с2;
м/с2.
3. Нахождение углового ускорения звена АВ.
рад/с2.
Ответ: м/с2,
м/с2,
рад/с,
рад/с2.
Варианты задачи 4.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() ![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
ЗАДАЧА №5
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
По заданным равнением относительного движения точки М неровного движения тела Д определить для момента времени абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М .
ПРИМЕР
Прямоугольная пластина Д вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А , по закону (рад)
В пластине вдоль прямой АВ движется точка М. закон её относительного движения задан уравнением
(В в метрах,t– в секундах)
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t=1с.
РЕШЕНИЕ
Находим положение точки М в момент времени t1:
Отрезок ОМ =0,6 м откладываем в лево от точки 0,поскольку на отрезке показана точка М при положительных значениях ОМ от точки 0.
Абсолютную скорость точки М найдём как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
Модуль относительной скорости
.
При t=1c
Направление указано на рисунке, при этом учтен знак«минус».
Модуль переносной скорости
где –радиус траектории точки М в переносном движении относительно О1 который можно найти по теореме Пифагора,
м;
ω–угловая скорость тела,
При ω=4
Теперь посчитаем .
Направление перпендикулярно МО1(см. рисунок).
Абсолютную скорость можно найти или через её проекции оси Х и У или по теореме косинусов.
Остановимся на втором варианте.
При
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориорисова ускорений:
Модуль относительного ускорения
При
Переносное ускорение равно геометрической сумме нормальной касательной составляющих:
.
Модуль нормальной составляющей
При
Касательное ускорение ,
Где – угловое ускорение тела.
При
Колирисово ускорение находится по формуле
Модуль этого ускорения
Так как направлен по оси вращения, т.е. перпендикулярно плоскости рисунка «к нам», а
лежит в этой плоскости, то
При
Направление находим по правилам векторного произведения.
Покажем направления составляющих абсолютного ускорения на рисунке.
Модуль абсолютного ускорения точки М находим через проекции:
Ответ: при
;
Варианты задачи 5.
![]() | G ![]() | ||
![]() ![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ||
![]() |
![]() ![]() | ||
![]() ![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() |
![]() | ||
![]() | ![]() |
ЗАДАЧА №6
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Груз D массой m ,получив в точке А начальную скорость ,движется по изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости.
На участке АВ на груз, кроме силы тяжести действуют сила сопротивления среды , зависящая от скорости
груза (направлена против движения).
В точки В груз не изменяя величины своей скорости переходит на участок ВС трубы, где на него, помимо силы тяжести действует сила трения (коэффициент трения груза о трубу f=0.2) и переменная силаF, проекция которой Fx на ось Х задаётся.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l или время t1 движения груза от точки А до точки В ,найти закон движения груза на участке ВС, т.е. ВД=Х(t)
Примечание: каждый рисунок относится к двум вариантам задачи.
Пример. На участке АВ на груз D действует постоянная сила ,направление которой показано на рисунке, и сила сопротивления
.движение от точки А до точки В длиться t1c.На участке ВС на грузе действует сила трения F (коэффициент трения f=0.1)и переменная сила
, где F измеряется в ньютонах, а t в секундах.
Определить закон движения груза на участке ВС при следующих условиях :m=8 кг, Q=20 Н, ,где μ=0,2
,V0=0, t=2c.
РЕШЕНИЕ
1.рассотрим движение груза на участке АВ. Составим дифференциальное уравнение движения на этом участке:
или
где для сокращения записей введено обозначения .
Разделив переменную и интегрируя обе части равенства, получим
;
.
Из последнего выражения найдем V:
;
;
;
.
Учитывая, что находим
.
Пологая ,определяем скорость в точки В:
.
- теперь рассмотрим движение груза на участке ВС. Найденная скорость Vв будет для движения на этом участке начальной скоростью.
Составим дифференциальные уравнение движение груза:
,
где –сила трения;
;
для горизонтального участка сила нормального давления груза на трубу .в случае если участок наклонён к горизонту на угол
,
Разделим правую и левую части дифференциального уравнения на получаем
Умножим правую и левую части на и проинтегрируем полученное выражение:
;
,
или .
Выразим скорость груза через производную от координаты Х:
;
.
Умножим правую и левую части на и возьмём интегралы от обеих частей:
;
Ответ: