КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНЙ ТОЧКИ
Материальная точка движется вдоль оси Х под действием упругой силы 
и возмущающей силы 
.Проекции этих сил на ось Х равны: 
Масса точки 
,амплитуда возмущающей силы 
,круговая частота этой силы 
,а также начальные условия заданы в таблице.
Номер строки таблицы соответствует варианту задания.
1.Подобрать жесткость пружины из условия, чтобы коэффициент динамичности равнялся двум 
для 
,где 
– частота свободных колебаний.
2.Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от расстройки 
по точкам, найденным для значений 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1; 1,1; 1,5; 2.
3.Найти закон движения точки при заданных в таблице начальных условиях и найденном ранее значении коэффициента жесткости пружины.
ПРИМЕР. Груз массы m прикреплён к пружине, как показано на рисунке. На груз действует возмущающая сила 
.
Найти жесткость пружины из условия, чтобы коэффициент динамичности в доризонансной зоне равнялся 
Построить график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от расстройки.
Найти закон движения точки при следующих условиях:
кг, 
, 
, 
м, 
.
Груз считать материальной точкой
РЕШЕНИЕ
1.Найдем жесткость пружины. При отсутствии сил сопротивления коэффициент динамичности 
,
Где – частота свободных колебаний.
Пологая, что и учитывая, что частота возмущения ,найдём 
С другой стороны, частота свободных колебаний
,
что позволяет найти коэффициент жесткости пружины
2.Амплитуду вынужденных колебаний рассчитываем по формуле
Где 
–деформация пружины в случае статического действия силы Н, 
.
3.Находим закон движения точки.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (см., например, Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.– М.:Высш. Шк.,1995)
.
здесь 
.
Общее решение уравнения равняется сумме общего решния однородного уравнения
,
которое обозначим Х1 ,и частного решения неоднородного уравнения Х2:
.
Однородное уравнение имеет общее решение :
,
Где 
и 
–постоянные интегрирования.
Частное решение неоднородного уравнения
.
Таким образом,
.
Подсчитаем значение А для следующих расстройки:
: 0; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 1; 1,1;1, 25; 1, 5;2.
При 
.
При 
.
По аналогичным формулам найдем амплитуду вынужденных колебаний при других значениях 
и результаты вычислений занесем в таблицу
| Z | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 0,9 | 1 | 1,1 | 1,25 | 1,5 | 2 |
| 104м | 2,78 | 2,79 | 3,71 | 6,35 | 14,43 | ¥ | 13,24 | 4,94 | 2,22 | 0,93 |
По этим данным строем график А=А(z),который называется амплитудно-частотной характеристикой .
Найдём постоянные интегрирования и из начальных условий.
При 
, 
м. отсюда находим 
м
Чтобы определить найдем выражение скорости точки по формуле 
.
Согласно условию задачи при 
м/с.
Найдём :
м.
Итак, движение точки определяется выражением
Ответ:
, 
Варианты задачи 7.
| Номер варианта | Масса (кг) | Амплитуда силы Н(H) | Круговая частота p(c-1) | X0(м) | 
|
| 0,4 | 0,03 | ||||
| 1,2 | |||||
| 0,8 | 0,04 | ||||
| 0,02 | |||||
| 0,8 | |||||
| 0,6 | 0,05 | ||||
| 0,01 | |||||
| 2,4 | |||||
| 0,03 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,9 | 0,1 | ||||
| 1,4 | 2,2 | ||||
| 0,008 | |||||
| 0,7 | |||||
| 3,6 | 0,02 | ||||
| 0,8 | 2,8 | ||||
| 10,6 | 0,018 | ||||
| 7,6 | |||||
| 0,9 | 0,1 | ||||
| Номер варианта | Масса (кг) | Амплитуда силы Н(H) | Круговая частота p(c-1) | X0(м) |
|
| 1,2 | 1,5 | ||||
| 2,8 | 0,08 | ||||
| 5,6 | |||||
| 6,8 | 0,012 | ||||
| 0,65 | 1,6 | ||||
| 4,7 | 0,015 | ||||
| 1,5 | |||||
| 0,06 | |||||
| 2,8 | 2,4 |
ЗАДАЧА № 8
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
Вертикальный вал 
вращается с постоянной угловой скоростью 
с-1, закреплён подпятником и цилиндрическим подшипником.
К валу жестко прикреплен невесомый стержень 1 длинной 
м,
точечной массой 
кг на конце и однородный стержень 2 длинной 
м, имеющий массу 
кг; оба стержня лежат в одной плоскости.
Пренебрегая весом тела, определить реакции подпятника и подшипника. При окончательных расчётах принять 
м.
ПРИМЕР.С невесомым валом , вращающимся с постоянной угловой скоростью 
, жестко скреплен стержень ОД длинной 
и массой 
,имеющий на конце груз массой 
.
Определить реакции подпятника А и подшипника В.
РЕШЕНИЕ.Рассмотрим систему состоящую из вала АВ и стержня ОД, и покажем на рисунке внешние силы, действующие на систему; силы тяжести 
и 
, составляющие 
и 
реакции подпятника и реакция 
подпятника.
Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов (точек) стержня и груза. Так как вал вращается равномерно, то все его элементы имеют только нормальные ускорения, направленные к оси вращения.
,
где 
– расстояние элемента стержня от оси.
Тогда сила инерции элемента стержня 
,где 
– масса элемента. Эта сила представляет собой распределённую нагрузку, пропорциональную расстоянию (см. рисунок).и направлена в сторону противоположную 
. Распределённую нагрузку заменяем равнодействующей 
, причем её величина
,
где – масса стержня;
– ускорение его масс С.
Приложена эта сила в точке 
, где 
. Направление силы показано на рисунке.
Сила инерции груза 
.
Так как все действующие силы и силы инерции лежат в плоскости 
,то и реакции подпятника 
и подшипника 
тоже лежат в этой плоскости, что было учтено в начале решения
По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой системы уравнения равновесия:
;
;
Подставляя сюда числовые значения сил веса
,
.
и определённые ранее силы инерции и 
, найдем искомые реакции
, 
, 
.
Знаки указывают что силы и направлены противоположно показанным на рисунке.
Ответ: , , .
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Практикум
для студентов факультета заочного обучения
ЗАЙЦЕВ Александр Семенович
МИЗОНОВ Вадим Евгеньевич
ШАПИН Вадим Иванович
Редактор
Компьютерная верстка Г.Н. Чернова
Лицензия ИД № 05285 от 4 июля 2001 года
Подписано в печать Формат 60х84 1\1б. Печать плоская.
Усл. печ. л . Тираж 400 экз.
ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»
I 53003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 5
Отпечатано в РИО ИГЭУ.
|