Преобразования координат и времени (преобразования Лоренца).

Займемся отысканием правильных законов преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Х′
У′
Z′
0′
Х
У
Z
K
Имеем две системы отсчета – неподвижную S с координатами XYZ и подвижную S′ с координатами X′Y′Z′ . Система S′ движется относительно S со скоростью v.

Отсчет поведем от момента времени t = t′ = 0, т.е. когда начала координат 0 и 0′ совпадали.

Рассмотрим преобразования координат X и X′, вдоль которых происходит перемещение систем.

Используя галилеевские преобразования координат и используя множитель γ для правильного преобразования координат, т.е. поправка к преобразованиям Галилея, имеем:

Х′ = γ·(Х − vt), Х = γ·(X′ – v′t′),

с другой стороны v = -v′, поэтому:

Х′ = γ·(Х − vt), Х = γ·(X′ + vt′) (4)

Для нахождения значения γ используем значение координат, полученных в системах S и S′ для произвольно выбранной точки К на оси Х при распространении светового сигнала (здесь используется постулат с = const), тогда:

Хк = сtк; Х′к = сt′к (5)

Подставляя (5) в (4) имеем:

Сt′к = γ(C – v)tк; Сtк = γ(C + v)t′к

Решая их совместно:

Знак «+» берется в случае, если сохраняется направление отсчета вдоль осей Х и Х′.

В конечном итоге при подстановке в (4):

(6)

Получили законы преобразования координаты Х. В направлении осей y и y′, Z и Z′ смещение не происходит, т.к. эти оси ┴ к вектору относительной скорости, поэтому соотношения преобразования координат вдоль этих осей:

y = y′; y′ = y

z = z′; z′ = z

Для нахождения закона преобразования времени, исключим из уравнения (4) координату Х′:

X =γ·[γ·(X –vt) + vt′],

решаем относительно t′:

Аналогично, исключая из (4) координату Х, имеем:

И подставляем в эти уравнения γ, получим:

Вывод: получили преобразования Лоренца.

Преобразования Лоренца Формулы перехода из: S → S` S` → S
y′ = y Z′ = Z y = y′ Z = Z′

Преобразования Лоренца устанавливают связь между временем и координатами, измеренными двумя наблюдателями, движущимися друг относительно друга со скоростью v.

Эти преобразования позволяют исключить противоречия, возникающие при использовании преобразований Галилея. Однако это не означает, что преобразования Галилея неверны.

Преобразования Лоренца верны при любых скоростях в природе. Преобразования Галилея, являлись частным случаем преобразований Лоренца, верны при v«c.

Основные отличия преобразований Лоренца от преобразований Галилея:

1. В рамках преобразований Галилея расстояние между двумя событиями есть абсолютная величина. Из преобразований Лоренца следует, что расстояние между событиями меняются при переходе от одной системы отсчета к другой.

2. То же относится и к промежутку времени между этими событиями.

3. Из преобразований Лоренца следует зависимость между пространственными и временными соотношениями. В закон преобразования координат входит время, в закон преобразования времени – пространственные координаты – устанавливается взаимосвязь пространства и времени.

4. Абсолютные (не зависящие от системы отсчета) величины не исчезают, они построены из относительных – расстояний и промежутков времени.

Наиболее интересны вопросы, связанные с изменением длины и промежутка времени при переходе от одной инерциальной системы координат к другой. Рассмотрим их, т.е. рассмотрим элементы релятивистской механики.