Дифференциальные уравнения второго порядка
Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид: 
.
Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.
Полагая y′ = z, имеем y″ = z′ или z′ = f(x) , 
= f(x), dz = f(x)dx.
Интегрируя 
, получим z = F(x) + C1.
Возвращаясь к функции y , имеем 
, 
.
- это есть общее решение уравнения
y″ = f(x).
Пример 1: Найти общее решение уравнения .
Решение: Пусть 
, тогда 
.
После подстановки имеем 
или 
.
Интегрируя обе части равенства, получим 
.
Вернувшись к функции y , получаем уравнение 
.
Интегрируя его 
, получим 
-это есть общее решение уравнения.
Ответ: 
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение: Уравнения вида 
, где p и q– постоянные величины, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для отыскания общего решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение 
,
которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.
Общее решение исходного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней 
и 
.
Возможны три случая:
1) и – действительные и различные, тогда
;
2) и – действительные и равные, тогда 
и
;
3) и – комплексно-сопряженные: 
, 
,
тогда 
.
Пример1:Решить дифференциальное уравнение
y˝- 5y΄- 6y = 0.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
решаем его, получаем 
.
, 
.
Как видно, корни действительные и различные , поэтому
общее решение можно записать в виде 
.
Ответ: .
Пример 2: Решить дифференциальное уравнение 
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим
, найдем корни , 
, значит 
.
Отсюда действительная частькомплексного числа 
, мнимая часть 
, следовательно общее решение имеет вид:
.
Ответ: 
Пример 3: Решить дифференциальное уравнение
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
Решая его, получаем 
;
, 
получили комплексно - сопряженные корни, где 
и 
. Тогда общее решение запишется в виде 
.
Ответ:
Пример 4: Решить дифференциальное уравнение
.
Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:
.
Решая его, получаем 
;
,
получили два одинаковых действительных корня, тогда
общее решение уравнения запишется в виде 
.
Ответ: .
Линейные однородные
Определение.Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y″ + py′ + qy = f(x),
где p и q – постоянные величины, а f(x) – непрерывная функция x.
Если правая часть уравнения равна нулю, т.е.
y″ + py′ + qy = 0,
то оно называется однородным уравнением.
Для практического использования алгоритм решениядифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентамиудобно оформить в виде таблицы:
| Дифференциальное уравнение | y″ + py′ + qy = 0 | ||
| Характеристическое уравнение | k2 + pk + q = 0 | ||
| Дискриминант D = p2 – 4q | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
| Корни характеристического уравнения | k1 ≠ k2 | k1 = k2 | k1 = a + bi k2 = a - bi |
| Множества решений |
|
|
|
Пример.Решить уравнение y″ + 2y′ – 8y = 0.
Решение.
Составим характеристическое уравнение k2 + 2k - 8 = 0.
Найдем дискриминант D = p2 – 4q = 22 -4(-8) = 4 + 32 = 36 > 0.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня. Определим их: k1 = - 4, k2 = 2.
Находим частные решения данного дифференциального уравнения:
.
Общее решениеданного уравнения имеет вид
.