Практика 2. Действия над матрицами, сложение, умножение.
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
Приходовский М.А.
Математика
(1 семестр, часть 1)
Учебно-методическое пособие
для специальностей:
09.03.03 «прикладная информатика в экономике»
(группы 446-1 и 446-2)
Томск
ТУСУР
Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1, 446-2 осенью 2016 года. В осеннем семестре, согласно рабочим программам, на специальности 09.03.03 изучаются следующие темы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчсиление. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Задачи для домашнего задания часто даны в контексте рассмотрения темы, по ходу урока, то есть видно, после разбора каких задач будет сразу легко понять, как решить это домашнее задание. Домашние задания в пособии даны без решений, но с ответами. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.
Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию
Практика № | 446-1 | 446-2 |
02.09.16 | 03.09.16 | |
06.09.16 | 03.09.16 | |
09.09.16 | 09.09.16 | |
16.09.16 | 17.09.16 | |
20.09.16 | 17.09.16 | |
23.09.16 | 23.09.16 | |
30.09.16 | 27.09.16 | |
04.10.16 | 27.09.16 | |
07.10.16 | 07.10.16 | |
14.10.16 | 11.10.16 | |
18.10.16 | 11.10.16 | |
21.10.16 | 21.10.16 | |
28.10.16 | 25.10.16 | |
25.10.16 | ||
Практика 1.Входной тест по школьной программе.
(неравенства с модулем, логарифмические неравенства, задачи на движение).
Практика 2. Действия над матрицами, сложение, умножение.
Задача 1.Найти произведение матриц ,
.
Решение.Запишем эти матрицы. Если первую разбить на строки, а вторую на столбцы, то видно, что есть всего 4 варината скалярно умножить друг на друга вектор-строку их первой на вектор-столбец из второй.
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Например, если умножаем строку номер 1 на столбец номер 2, то и число, которое при этом получается, ставим в 1 строку 2 столбец новой матрицы. Итак,
=
. Ответ.
.
Задача 2. Даны матрицы
,
,
. Найти
.
Решение. Так как матрица С находится справа во всех слагаемых, то для удобства можно использовать приведение подобных =
- тогда умножение надо будет проводить всего один раз, а не два.
Сначала запишем .
=
=
.
Теперь умножим на матрицу С. Точно так же, как и в прошлом примере, мысленно обведём строку из 1-й матрицы на столбец из 2-й.
Есть 4 варианта это сделать:
=
=
=
.
Ответ. .
Задача 3. Дана матрица найти
.
Решение. Умножим матрицу саму на себя, то есть две её копии напишем рядом и умножим их.
=
=
=
. Ответ.
.
Как видно из этого примера, для матриц, в отличие от чисел, возможно, что получается нулевой объект в ответе, притом что в исходной матрице вообще ни одного нуля не было. Это из-за особенностей её строения: правый столбец в 2 раза меньше, чем левый, а нижняя строка в минус 2 раза больше, чем верхняя. И вообще, если взять пару матриц, где у первой будет пропорциональность строк (в k раз больше) а у второй - столбцов (в минус k раз меньше) получим такой же эффект.
Домашняя задача №1.
Найти произведение матриц
.
Ответом здесь тоже будет служить нулевая матрица.
Задача 4. Даны матрицы
. Найти
.
Решение.
=
=
.
=
=
.
Ответ. .
Задача 5. Даны матрицы:
Найти
.
Решение.
=
=
.
Теперь поставим их наоборот, но при этом произведением будет уже не матрица 2 порядка, а матрица 3 порядка: теперь у первой 3 строки, но более коротких, а у второй 3 столбца. Вариантов умножить строку на столбец будет 9.
=
=
.
Ответ. ,
.
Задача 6. Даны матрицы
. Найти
.
Решение.
=
=
.
=
=
.
Ответ. ,
.
Задача 7. Дана матрица . Найти
.
Решение. Сначала умножим две, и найдём .
=
=
.
Теперь домножим ещё на одну матрицу А, чтобы найти .
=
=
.
Ответ. .
Домашняя задача № 2. Найти для этой же матрицы. Замечание. Здесь есть 2 метода решения: либо умножить
, полученную в прошлой задаче, ещё раз на
, либо взять
, полученную на первом этапе, и её умножить саму на себя. Ответ.
.
Задача 8. Вычислить матрицу для какой-нибудь матрицы 3-го порядка. (Операции типа
понадобятся изучении следующих тем: собственные числа линейного оператора).
=
=
=
.
Задача 9. Решить уравнение для матрицы
.
Решение. =
.
Найдём определитель 2 порядка.
=
.
Уравнение , что равно
, имеет 2 корня 0 и 7.
Ответ. Параметр может принимать значения 0 и 7.
Замечание. Фактически, здесь мы нашли все такие числа, что если их вычесть из главной диагонали, то строки будут пропорциональны. Одно из них 0 только потому, что строки и так изначально пропорциональны, т.е. можно вычесть 0. А если вычесть 7, получим:
тоже как строки, так и столбцы пропорциональны. Никакого третьего числа, обладающего таким свойством, для матриц 2 порядка нет, так как соответствующее уравнение (в будущем будем называть его характеристическим уравнением) 2 степени, и количество корней максимум 2. А вот для матрицы 3 порядка могло быть и 3 корня.
Задача 10. Найти определитель .
Решение. =
.
Ответ. 18.
Замечание. Если построить пару векторов в плоскости, то площадь получившегося параллелограмма будет 18.
Задача 11. Найти определитель .
Решение.Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака.
=
.
Ответ. .
Замечание. Модуль этой величины равен объёму параллелепипеда, построенного на 3 векторах, если в качестве векторов рассматривать строки либо столбцы.
Так, эквивалентная формулировка этой задачи может быть: найти объём параллелепипеда, одна из верших которого (0,0,0), и 3 ребра расположены по радиус-векторам (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1). Ответ: 21.
Если надо найти объём тетраэдра, то дополнительно разделить на 6.
Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1).
Ответ: 21 / 6 = 3,5. Дело в том, что площадь основания тетраэдра в 2 раза меньше, чем для параллелепипеда, а кроме того, в формуле объёма таких фигур, как пирамида, конус, тетраэдр есть коэффициент 1/3, итого в 6 раз меньше, чем для параллелепипеда.
Задача 12. Найти определитель .
Решение проводится аналогичным образом,
То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.
=
.
Ответ. 5.
Задача 13. Найти определитель .
Решение.
.
Ответ. .
Задача 14. Найти определитель .
Решение.
.
Ответ. 11.