Задачи на поиск собственных чисел и векторов.
Задача 3. Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: 
.
Решение.Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем 
по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю. 
. Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению. 
. Характеристические корни 
, 
.
Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему.
система: 
Здесь есть единственная информация: 
. Переменной 
в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при нулевые, то 
. На самом деле является свободной неизвестной. Если вспомнить тему «ранг матрицы», то увидим, что базисный минор матрицы 
это минор 1-го порядка, и расположен именно во втором столбце (любая клетка размера 1 на 1), где есть число. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае (1,0), и именно это и является собственным вектором. Проверка: 
.
Замечание. Любой вектор на этой прямой, то есть вида (с,0) тоже является собственным.
система состоит из одного уравнения: 
. Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:
или 
. Задавая одну, получаем вторую. Вектор (1,1).
Проверка: 
. Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза.
Ответ. вектор (1,0), вектор (1,1).
Задача 4. Найти собственные числа и векторы для матрицы 
.
Решение. 
.
. Корни 
, то есть 
и 5.
Ищем собственный вектор для каждого из этих чисел.
система состоит из двух одинаковых уравнений 
Одну переменную выразим через вторую 
. ФСР 
.
система состоит из пропорциональных уравнений 
Одну переменную выразим через вторую . ФСР 
.
Ответ. вектор , вектор (1,1).
Проверка. 
, 
.
Задача 5. Найти собственные числа и векторы для матрицы 
.
Решение. 
Здесь хар. корень кратности 2: .
Ищем собственные векторы.
Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения .
При этом формально свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть можно присваивать любое значение, например 1.
Итак, собственный вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет.
Ответ. , собственный вектор (1,0).
Замечание. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.
А если бы матрица изначально была 
то система уравнений получилась бы только из уравнений вида 0 = 0, то есть обе переменные свободные, ФСР было бы (1,0) и (0,1) и тогда собственные векторы - вся плоскость.
Задача 6. Найти собственные числа и векторы 
.
Решение. 
сводится к уравнению
, корни которого 
.
Найдём собственные векторы.
. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений
то есть 
.
Из этих уравнений следует, что 
, про нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).
. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений
то есть 
.
Из этих уравнений следует 
, ФСР: вектор (1,1,0).
Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.
. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений
то есть 
.
Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда 
считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го 
, а затем из 1-го 
, то есть 
.
ФСР: вектор (1,1,1).
Ответ.
Собст. число собст. вектор (1,0,0),
собст. число собст. вектор (1,1,0)
собст. число собст. вектор (1,1,1).
Задача 7. Найти собственные числа и векторы 
Решение.
разложим по 2-й строке:
= 
что сводится к
, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак, 
, корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.
.
, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.
Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: 
.
Тогда 
, свободные переменные 
поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).
.
, при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать , поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система:
Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: 
. ФСР вектор (1,0,3).
Ответ.Кратный корень два вектора: (1,0,2) (0,1,2),
Корень вектор (1,0,3).
Проверка. 
, 
, 
.
Задача 8. Доказать, что линейный оператор 
не имеет собственных векторов.
Решение. 
.
, действительных корней нет, то есть корни комплексные, они 
.
Замечание. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень.
Задача 9. Доказать, что для оператора поворота 
в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы 
, при которых собственные векторы есть.
Решение. 
, 
, 
, получили многочлен вида 
, где
. 
.
так как 
. Лишь для углов 0 и 
получается D = 0, и тогда собственные векторы есть. При 
матрица линейного оператора примет вид 
, тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу .
При 
матрица 
, все векторы собственные, соответствуют .
Задача 10. Найти собственные числа и векторы 
.
Решение. 
сводится к уравнению
, корни которого: 
.
.
, система 
откуда 
, ФСР это вектор 
.
.
, система 
откуда 
, ФСР это вектор 
.
.
, система 
откуда 
, а значит и , свободная переменная.
Тогда ФСР это вектор (1,0,0).
Ответ.
Собст. число собст. вектор ,
собст. число собст. вектор ,
собст. число собст. вектор (1,0,0).
Домашнее задание. (9.6 из [1]). Найти собственные числа и векторы для линейного оператора 
.
Ответ.
Собст. число собст. вектор 
,
собст. число собст. вектор (0,1,1),
собст. число 
собст. вектор 
.
Практика 10
Задача 1.Найти собственные числа и векторы (не треугольная матрица).
Квадратичные формы.
Задача 2. Построить матрицу квадратичной формы:
Задача 3. 
.Привести к главным осям.
Задача 4. 
. Привести к главным осям.
Матрица 
. Найдём собственные числа и векторы. Характеристическое уравнение 
, 
, 
Собственные числа 5 и 1.
Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности.
тогда 
, 
, ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (1,1).
Аналогично,
тогда 
, 
, ранг системы = 1, остаётся одно уравнение , собственный вектор (-1,1).
Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична, что и так следует из теоремы 7.
Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:
и 
.
Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 450 декартов базис, то есть (1,0) и (0,1).
Обозначим новые координаты 
, тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:
- отсюда, умножив матрицу на столбец, можно записать формулы связи старых и новых координат: 
, 
.
Если мы подставим эти в исходную квадратичную форму , то увидим, что в ней не будет произведений типа 
, а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее:
= 
=
=
= 
. Итак, 
.
Собственные числа, как видим, как раз и оказались в роли коэффициентов при квадратах.
Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму: Q(x,y) = 14 
+24 
+21 
Ответ 30 
+5 