рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез- точке.
Ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре. Теорема: в любой 3-угольник мож-
но вписать окружность.
Теорема: Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой точке. окружность.
Теорема: Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно онисать окруж- противоположных углов = 180°.
Ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
Глава IX.
Векторы.
Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-
зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,
Называется вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-
влены.
Определение: Векторы,
называются равными, если От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и
ны равны. притом только один.
Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:
Переместительный закон);
2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
ă – č = ă + ( - č ).
Для любого числа k и любого векто- ( kl )ă=k( lă ) (сочетательный закон);
ра ă векторы ă и kă коллинеарны. ( k+ l )ă=kă+lă(1ый рспред-ный закон);
k(ă+č )=kă+kč.
Теорема: Средняя линия тра-
Пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.
Класс.
Глава X.
Метод координат.
Лемма: Если векторы ă и čТеорема: Любой вектор можно раз-
коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число k, что č=kă. ным векторам, причём коэффициен-
Ты разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора на число = произведению соот-
Каждая координата разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот- на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число. Координаты точки М = соответству-
ющим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его концов.
Глава XI.
Соотношения между сторонами
И углами 3-угольника.
Скалярное произведение
Векторов.
Для любого угла α из промежут- tg угла α(α=90°) называется отношение
ка 0° <α<180° sin угла α называ- sinα/cosα.
ется ордината у точки М, а cos
угла α – абсцисса х угла α. sin(90°-- α)= cos α
Теорема: S 3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника про-
Произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих
Sin угла между ними. углов.
Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.
а2=b2+с2-2bс cos α.
Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов называется произве- ту его длины.
дение их длин на cos угла между
ними.
Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и b( х2; у2 ) выражается формулой:
ab=х1 х2 +у1 у2.
Нулевые векторы а( х1; у1) и cos угла а между нулевыми векторами
b( х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1) и b( х1; у1) выражается формулой:
тогда и только тогда, ког- cos α=х1 х2 +у1 у2 / х1+у1 х2 + у2.
да х1 х2 +у1 у2 = 0.
Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:
а2>0, причём а2>0 при а=0.
аb=bа (переместительный закон).
( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон).
( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).