Обчислити визначники згідно з означенням
Обчислити визначники за теоремою про розклад
Знайти алгебраїчні доповнення для елементів поданих визначників, перевіряючи їх вірність за допомогою теореми розкладу та теореми анулювання. Значення алгебраїчних доповнень записати у вигляді таблиць (матриць).
Спростити вирази
Розв’язати рівняння
Користуючись властивостями визначників спростити вирази::
12. 
. 13. 
.
14. 
. 15. 
.
Користуючись лише властивостями визначника (не розгортаючи їх), розв’язати рівняння:
16. 
. 17. 
Довести рівність
18. 
Відповіді
12. 
. Вказівка. Відняти останній стовпець від перших двох.
13. 
. Вказівка. Відняти від першого стовпця другий, а від другого третій. 14. 
. Вказівка. Відняти від першого рядка другий, від другого третій. 15. 
. Вказівка. До третього стовпця додати другий. 16. 
.
17. 
.
Розв’язування систем трьох лінійних рівнянь за формулами Крамера. Однорідні системи
Нехай задана система
з якої необхідно знайти 
при відомих інших елементах.
Складемо визначник системи із коефіцієнтів при невідомих
Домножимо почленно кожне з рівнянь відповідно на 
- алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця (коефіцієнтів при х) і додамо всі три рівності. Отримаємо:
За теоремою про розклад коефіцієнт при х дорівнює 
. Коефіцієнти при 
будуть рівними нулю за теоремою анулювання. Права частина рівності за теоремою про заміщення дає новий визначник, який називають допоміжним і позначають
Після цього остання рівність запишеться
(2)
Для знаходження 
домножимо кожне з рівнянь початкової системи в першому випадку відповідно на 
в другому - на 
і додамо. В наслідок перетворень отримаємо:
де
Якщо 
, то в результаті отримуємо формули Крамера:
Окремим випадком системи (1) є однорідна система
(3)
Серед розв’язків однорідної системи можуть бути як нульові розв’язки 
, так і розв’язки відмінні від нуля.
Теорема 1. Якщо визначник 
однорідної системи (3) відмінний від нуля ( 
), то така система має тільки нульовий розв’язок.
Дійсно, за властивістю 4 в 1.3. допоміжні визначники 
, як такі, що містять нульовий стовпець, тому за формулами Крамера .
Теорема 2. Якщо однорідна система має відмінний від нуля розв’язок, то її визначник необхідно дорівнює нулю 
.
Дійсно, нехай одне з невідомих, наприклад х, відмінне від нуля. Згідно з однорідністю 
. Рівність (2) запишеться 
. Звідки випливає, що 
.
Приклад.
За формулами Крамера розв’язати систему
Розв’язання. Знаходимо визначники, причому можна знаходити іх різними способами,
Перевірка.
Відповідь: 
Приклади. За формулами Крамера розв’язати системи рівнянь, у відповідь записати суму коренів.
Відповіді: 1. 8; 2. –2; 3.–6; 4. –2.
Визначники вищих порядків
Розглянемо записаний спочатку формально визначник 4-го порядку:
Викреслюючи в і-тий рядок і j-тий стовпець, на перетині яких міститься елемент 
, отримаємо визначник 3-го порядку, який називається мінором елемента 
і позначається 
. Тоді 
- алгебраїчне доповнення елемента . Визначник 4-го порядку, можна означити, як розклад за елементами, наприклад, першого стовпця
Нехай введено поняття визначника 
-го порядку, тоді визначник 
-го порядку:
можна зобразити, як розклад за елементами першого стовпця:
де 
- алгебраїчні доповнення, а 
- мінори елементів першого стовпця. Останні є визначниками 
-го порядку.
Зауваження. Всі властивості 1-8, а також теореми розглянуті для визначників 3-го порядку поширюються і на визначники вищих порядків.
Приклад.
Обчислити визначник
.
Розв'язання. Спочатку за допомогою властивості 8 із 1.3 перетворимо в нулі елементи 1-го стовпця, які належать до 2-го 3-го і 4-го рядків. Для цього додамо відповідні елементи 1-го і 2-го рядків. На місці елемента а21 отримаємо 0 (1+(-1)), а22=-2+3=1, а23=(-1)+(-1)=-2, а24=3+(-1)=2.
Щоб отримати 0 в 3-му рядку 1-го стовпця, домножимо на (-3) елементи 1-го рядка і додамо до відповідних елементів 3-го рядка:
а31=1•(-3)+3=0, а32=(-2)(-3)+(-8)=-2, а33=(-1)(-3)+7=10,
а34=3•(-3)+7=-2.
Домножимо елементи 1-го рядка на (-2) і додамо до відповідних елементів 4-го рядка. Маємо
а41=1•(-2)+2=0, а42=(-2)•(-2)+1=5, а43=(-1)(-2)+(-10)=-8,
а44=3(-2)+17=11.
Початковий визначник ∆ внаслідок зроблених перетворень має вигляд:
= 
.
Далі розкладаємо останній визначник за елементами 1-го стовпця. Оскільки а11=1, а решта елементів 1-го стовпця нулі, то отримаємо один визначник 3-го порядку, до якого теж в подальшому застосуємо аналогічні перетворення. В результаті запишемо:
Зауваження. Виконані перетворення в нулі елементів 1-го стовпця, що відносились до 2-го – 4-го рядків, є по суті застосуванням правила прямокутника(див. в 1.1 ) при перетворенні 2-го – 4-го рядків початкового визначника з провідним елементом 1(1-й рядок, 1-й стовпець).
Приклади. Обчислити визначники.
1 
| 2 
|
3 
| 4 
|
Відповіді. 1. 3; 2. 28; 3. 12; 4. 84.