Означення 2. Матриці і називаються переставними або комутативними, якщо .
Приклад 4.
Легко перевірити, що довільна квадратна і одинична матриці комутативні, і при цьому 
.
Приклад 5. Перевірити останню рівність, якщо
Можна показати, що множення матриць має такі властивості:
де 
– число;
.
Тут мається на увазі, що всі записані добутки матриць існують.
Приклад 6. Перевірити властивості 1-4, якщо число 
, а матриці 
такі:
, 
, С= 
.
Розглянемо поняття степеня квадратної матриці.
Означення 3. Квадратом матриці 
(позначається 
) називається добуток 
, тобто 
.
Аналогічно вводиться 
.
Приклад 7. Для матриць 
і 
, де
, 
,
довести, що 
, та знайти значення виразів.
Означення 4.Якщо 
- заданий многочлен і деяка квадратна матриця, то вираз
де 
- одинична матриця, називається многочленною матрицею.
Приклад 8. Для матриці
Знайти 
Обчислити степені квадратних матриць:
9. . 10 . 11. .
12. . 13. . 14. .
Перемножити прямокутні матриці:
15. . 16. .
17. .
Знайти 
, якщо задана матриця і функція 
Відповіді.
8. . 9. .
10. . 11. . 12. .
13. . 14. . 15. .
16. . 17. .
Визначник добутку матриць
Визначник квадратної матриці позначають 
(скорочення від латинської назви детермінант), або | |. Наприклад, якщо
то 
.
Теорема. Визначник добутку двох квадратних матриць 
-го порядку дорівнює добуткові їх визначників, тобто
, або 
. (1)
Рівність перевіримо для матриць другого порядку.
Приклад. Перевірити рівність (1) для таких матриць
Розв’язання.Обчислимо спочатку визначники заданих матриць та добуток їх
; 
,
.
Знайдемо тепер добуток матриць і і теж обчислимо їх визначник
. 
.
Отже, 
.
Приклади.Знайти визначники матриць:
1. . 2 . 3. .
4. . 5. . 6. .
Для поданих матриць 
знайти їх добуток 
та обчислити визначники. Результат перевірити за допомогою теореми.
Відповіді. 1. -1. 2. 343. 3. . 4. 1. 5. . 6. .
7. 6,-6,-36. 8. -6, -33, 198.
Обернена матриця.
Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай
.
Означення 1. Матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто 
.
Якщо ж 
, то матриця називається особливою (виродженою).
Означення 2. Квадратна матриця 
називається оберненою до матри ці , якщо виконується рівність
(1)
тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці .
Теорема. Якщо матриця - неособлива ( ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці .
Доведемо необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто 
. За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо
, бо 
. (2)
Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли 
і .
Достатність.Нехай визначник матриці відмінний від нуля, тобто . Скорочено позначимо 
. Покажемо, як знайти обернену матрицю.
Для кожного з елементів 
матриці знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення 
: 
, розмістивши їх у вигляді нової матриці 
відповідно розташуванню елементів 
в . Отримаємо
(3)
(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці
. (4)
За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що 
.
Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці
.