Тема. Матрицы и определители.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.
Вопрос 1. Матрицы, основные понятия, действия над матрицами.
Матрицами называют математические объекты, имеющие вид таблицы с размерами 
, где 
- число строк, а 
- число столбцов.
Элементами матрицы могут быть как числа действительные или комплексные, так и другие математические объекты, например, функции (в этом случае матрица называется функциональной).
Иногда матрицы обозначают:
, или 
,
или более кратко:
, или 
, или 
, 
.
Если число строк данной матрицы совпадает с числом её столбцов, то матрица называется квадратной, говорят, что она имеет порядок или размеры 
, т.е. квадратная матрица имеет вид
.
Элементы 
, 
, …, 
квадратной матрицы 
образуют главную диагональ, элементы 
, 
, …, 
образуют побочную диагональ квадратной матрицы, они идут из левого нижнего в правый верхний угол матрицы.
Рассмотрим таблицу вида: 
.
Числа с двумя индексами 
, 
, 
, 
называются элементами матрицы. Первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Симметрической матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, то есть 
.
Пример 1: 
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не находящиеся на главной диагонали, равны нулю.
Пример 2: 
.
Треугольнойназывается квадратная матрица, если из 
следует 
.
Мономиальной называется квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой стоит лишь один элемент, отличный от нуля.
Единичной называется диагональная матрица, у которой каждый элемент, находящийся на главной диагонали, равен единице.
Пример 3: 
.
Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю и обозначают 
или 
.
Следом квадратной матрицы 
называется сумма ее диагональных элементов.
Матрицы могут быть и прямоугольными, имеющими 
строк и 
столбцов, например, 
.
Матрица, имеющая только одну строку, называется матрицей-строкой, например, 
, а матрица, имеющая только один столбец, называют матрицей-столбцом, например: 
.
Матрицы и 
называются равными, если они имеют одно и то же число строк и одно и то же число столбцов (то есть, если они одного размера) и если при этом каждый элемент 
матрицы равен соответствующему элементу 
матрицы .
; 
.
Действия над матрицами.
1. Сумма и разность матриц.
Суммой матриц и , имеющих одинаковое число строк и столбцов
; 
,
называется третья матрица
,
каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, то есть 
.
Сумма матриц обозначается так 
.
Аналогично определяется разность матриц: 
, где 
.
Пример 4: 
; 
; 
, где .
2. Произведение числа на матрицу.
Произведение числа 
на матрицу называется матрица, определяемая равенством: 
и получаемая из умножением всех ее элементов на . Обозначается 
.
3. Умножение матриц.
Пусть заданы две матрицы и , причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если
, 
,
то матрица
,
где 
называется произведением матрицы на и обозначается 
.
Правило умножения матрицможно сформулировать так: чтобы получить элемент, стоящий в 
-ой строке и 
-ом столбце произведения двух матриц, нужно элементы -ой строки первой матрицы умножить на соответственные элементы -го столбца второй и полученные произведения сложить. В результате умножения получается матрица, имеющая столько строк, сколько у матрицы множимого и столько столбцов, сколько у матрицы множителя.
Пример 5:
Найти произведение матриц 
; 
.
.
Пример 6:
Найти произведение матриц А = 
и В = 
.
АВ = × = 
.
ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример 7: Найти произведение матриц А= 
, В = 
АВ = × = 
= 
.
Замечание 1. Из определения произведения матрицы 
на матрицу 
следует, что умножать матрицу на матрицу 
можно лишь в том случае, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы .
Замечание 2. 
, так как если 
, то 
не определено, т.е. произведение матриц некоммутативно. Квадратные матрицы одного порядка называются коммутирующими, если 
.
Замечание 3. Очевидно, что 
, т.е. единичная матрица при умножении матриц играет роль обычной единицы.
Произведение матриц зависит от порядка сомножителей. Причем, если рассматривать матрицы не квадратные, то может случиться даже, что произведение двух матриц в одном порядке будет иметь смысл, а в обратном – нет.
Но, даже для квадратных матриц произведение матриц некоммутативно, то есть не подчиняется переместительному закону.
Пример 8: 
,
,
очевидно, что 
.
Если же 
, то матрицы и называются коммутирующими друг с другом.
Пример 9:
, 
.
Единичная матрица коммутативна с любой матрицей: 
.
4. Транспонирование матрицы.
Матрица 
называется транспонированной по отношению к данной матрице , если она получается из матрицы путём замены в ней всех строк на соответствующие им столбцы.
Пусть
=> 
Свойстваоперациитранспонирования:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Матрица , для которой выполняется условие 
, называется симметрической.
5. Возведение в степень.
Целой положительной степенью Аm (m > 1) квадратной матрицы Аназывается произведение m матриц, равных А.
Замечание 1. Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.
Замечание 2. По определению полагают A0 = E, A1 = A. Нетрудно показать, что Am×Ak = Am+k, (Am)k = Amk.
Основные свойства действий над матрицами.
Законы сложения:
1) 
– переместительный закон
2) 
– сочетательный закон
3) 
4) 
Законы умножения:
5) 
– сочетательный
6) 
– распределительный
7) 
8) 
Замечание:произведение двух отличных от нуля матриц может быть равно нуль-матрице, а для чисел нет.
Пример 10:
; 
; 
.