Вопрос 2. Определители, свойства, вычисление.
Каждой квадратной матрице А может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы А и обозначают символом |А|, D или det A. При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.
Пусть дана матрица второго порядка 
.
Тогда определитель второго порядкаматрицы А вводится по формуле:
,
где 
- элементы определителя, 
, 
, 
– члены определителя.
В каждый член определителя входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
Пример 11:
.
Свойства определителей:
Свойство 1:При перестановке строк матрицы на место столбцов и обратно определитель матрицы не меняется.
Пусть задана матрица 
, а матрица 
получена из 
перестановкой строк на место столбцов.
называется транспонированной матрицей по отношению к .
Тогда, 
.
Свойство 2:При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный.
Пусть задана матрица 
, полученная из перестановкой столбцов. Тогда,
.
Свойство 3: Если матрица имеет два одинаковых столбца (или строки), то определитель матрицы равен нулю.
Свойство 4: Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.
; 
.
;
.
Свойство 5: Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы равны нулю, то определитель матрицы равен нулю.
Свойство 6: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк матрицы пропорциональны, то 
.
; 
.
Свойство 7: Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответственные столбцы матрицы 
и 
состоят из этих слагаемых.
; 
; 
.
Тогда, 
.
Свойство 8: Определитель матрицы не меняется, если к элементам какого-либо столбца (или строки) матрицы прибавить элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.
Пусть и 
.
Тогда,
Замечание. Рассмотренные свойства выполняются для определителей любого порядка.
Матрице третьего порядка 
соответствует определитель
.
Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно запомнить следующее правило.
Правило Крамера (треугольников).
Определитель третьего порядка – это алгебраическая сумма шести тройных произведений. Каждое слагаемое в этой сумме содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
Со знаком «+» берутся произведения, сомножители которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными главной диагонали
.
Со знаком «-» берутся произведения, сомножители которых расположены на побочной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными этой диагонали
.
Прежде, чем сформулировать определение определителя 
-го порядка, необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения элементов матрицы.
Рассмотрим определитель третьего порядка
.
Выберем произвольный элемент этого определителя (для определенности 
). Минором этого элемента 
называют определитель второго порядка, получаемый из данного вычеркиванием третьей строки и второго столбца, на пересечении которых стоит элемент :
.
Минором 
элемента определителя 
- го порядка называют определитель 
– го порядка, получаемый из исходного вычеркиванием 
-й строки и 
-го столбца на пересечении которых расположен элемент .
Алгебраическим дополнением 
элемента называют его минор, взятый с соответствующим знаком 
.
Теорема (разложение определителя по элементам строки (столбца)).
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
.
Теорема Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.
Задан определитель 
.
Для него выполняется 
.
Вычисление определителя - го порядка происходит по теореме 1, причем раскладывать определитель удобнее по той строке (столбцу), в которой все элементы кроме одного равны нулю. Если такой строки нет, то ее нужно получить, применяя свойства определителей.
Итак, если дана матрица -го порядка
.
Определителем этой матрицы называется число, полученное по следующему правилу:
,
причем 
, а минор 
будет определителем матрицы 
-го порядка.
Пример 12: Вычислить определитель матрицы А = 
= -5 + 18 + 6 = 19.
Пример 13:. Даны матрицы А = 
, В = 
. Найти det (AB).
1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.
2- й способ: AB = 
, det (AB) = 7×18 - 8×19 = 126 –
– 152 = -26.
Пример 14:
Вычислить определитель 
.
= -1 
= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
= 
= 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
= 
= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.