Раздел 2. Векторная алгебра.

Лекция 2.1. Векторы. Линейные операции над векторами.

Краткое содержание: Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Декартовы координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в координатах.

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости это выбранная на плоскости точка О (начало координат) и проходящие через нее взаимно перпендикулярные направленные прямые Ox и Oy (оси координат).

В пространстве это три взаимно перпендикулярные оси (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система кординат). Иными словами для наблюдателя, направленного по оси Oz кратчайший поворот оси Ox к оси Oy происходит против хода часовой стрелки. Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx, Oxy проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще и направлением называется вектором. При этом используется обозначение , где точка А – начало отрезка, а точка В – его конец. Если начало и конец вектора совпадают, вектор называется нулевым и обозначается .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной: . Длина нулевого вектора равна нулю .

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной и той же прямой. Коллинеарность обозначается как параллельность: . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Два вектора называются равными ( ), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Свободным называется вектор, который можно перемещать по плоскости параллельно самому себе, при этом получая вектор, равный данному.

Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Сложение векторов:

a) cуммой векторов и по правилу треугольника называется вектор, который идет из начальной точки вектора к конечной точке вектора , если приложен к конечной точке .

b) cуммой векторов и по правилу параллелограмма называется вектор-диагональ параллелограмма, выходящий из общей точки векторов и , если векторы отложены из одной точки и достроены до параллелограмма.

 

       
   
 
 

 


Сложение векторов коммутативно, т.е. .

Сложение векторов ассоциативно, т.е. = .

Суммой нескольких векторов называется вектор по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для любого вектора : .

Для любого вектора справедливо: , вектор называют противоположным вектору и обозначают ‑ .

Под разностью векторов и понимается вектор , такой, что .

Произведением вектора на число называется вектор

а)коллинеарный ;

б)имеющий длину ;

в)имеющий направление при и противоположное направление при .

Свойства умножения вектора на число:

1) ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число , такое, что ;

2) умножение вектора на число ассоциативно относительно умножения чисел ;

3) умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел ;

4)умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов ;

5) , .

Всякий вектор х может быть единственным образом представлен в виде: , где , пара ненулевых неколлинеарных векторов, которые образуют базис. Равенство называется разложением вектора х по данному базису, а числа , - координатами вектора при разложении по базису: .

С базисом на плоскости можно связать систему координат. О – начало координат. Каждой точке А на плоскости соответствует вектор - радиус вектор этой точки. Координаты радиуса-вектора при разложении по базису , называются координатами точки в построенной системе координат:

Свойства:

1) если , , то ;

2) если , то ;

3) вектор соединяющий точки и имеет координаты ;

4) векторы , коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: = ( );

5) длина (модуль) вектора вычисляется по формуле .

Три вектора , , называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.

Тройка некомпланарных векторов , , в пространстве образуют базис. Равенство называется разложением вектора х по данному базису, а числа , , - координатами вектора х при разложении по базису: .

Базис в пространстве порождает систему координат. Если отложить базисные векторы от начала координат, то за координаты точки принимаются координаты ее радиуса-вектора (вектора, идущего в данную точку из начала координат.

Свойства координат в пространстве:

1) если , , то ;

2) если , то ;

3) вектор соединяющий точки и имеет координаты ;

4) векторы , коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: = , = , = ( ).

5) длина (модуль) вектора вычисляется по формуле .

Самая распространенная система координат - декартова образуется двумя взаимно перпендикулярными векторами , , длина которых равна 1. , ; или тремя взаимно перпендикулярными векторами , , длина которых равна единице. , ;.

В векторной форме условие коллинеарности можно записать так:

А условие компланарности:

Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Проекцией вектора на вектор (или на направление ) называется вектор, началом которого служит проекция начала , а концом – проекция конца на прямую, содержащую .

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси: , .

Свойства проекций:

1) равные векторы имеют равные проекции;

2) проекция суммы векторов равна сумме их проекций: ;

3)проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если угол тупой, равна нулю, если угол прямой;

4)проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю;

5)при умножении вектора на скаляр, его проекция на данную ось умножается на этот скаляр: .

Направление вектора определяется углами , , , образованными вектором с положительными направлениями осей , , соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора и определяются по следующим формулам:

, ,


Лекция 2.2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Краткое содержание: Скалярное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Векторное произведение векторов, его свойства, координатное выражение. Геометрические приложения скалярного и векторного произведения. Смешанное произведение векторов, его свойства, координатное выражение и геометрические приложения.

Введем еще одну операцию над векторами. Углом между ненулевыми векторами и называется угол между соответствующими лучами, если оба вектора приложить к одной точке Угол между векторами обозначают .

Скалярным произведением векторов и , обозначаемым , называется число, равное произведению их длин и косинуса угла между ними: , где .

Свойства скалярного произведения векторов:

1) скалярное произведение коммутативно: ;

2) для любого числа и любых векторов и справедливо равенство ;

3) скалярный квадрат равен квадрату длины вектора: ;

4) если , то ;

5) тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (ортогональны) или один из них равен нулю;

6) ;

7) скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

Зная координаты векторов и в декартовой прямоугольной системе координат, для вычисления скалярного произведения векторов и можно воспользоваться следующей формулой: .

Из равенства можно определить значение косинуса угла между векторами и :

Векторное произведение.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , называется правой тройкой, если наблюдателю, находящемуся в конечной точке вектора , поворот от вектора к вектору на кратчайший угол виден совершающимся против часовой стрелки.

Если поворот от вектора к вектору на кратчайший угол виден совершающимся по часовой стрелке, то векторы , , образуют левую тройку.

 
 

 


правая тройка левая тройка

Векторным произведением двух векторов и , обозначаемым , называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1) длина (модуль) векторного произведения равна , где . Т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах;

2) вектор перпендикулярен плоскости векторов и : ,

3) векторы , , образуют правую тройку.

 

Из определения ясно, что , если один из них нулевой или они коллинеарны ( ).

Справедливы следующие свойства векторного произведения:

1) ;

2) векторное произведение антикоммутативно: ;

3) , где ‑ число (скаляр);

4) векторное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов: .

Зная координаты векторов и в декартовой прямоугольной системе координат, для вычисления векторного произведения векторов и можно воспользоваться следующей формулой:

(определитель разложен по первой строке).

 

Смешанным произведением векторов , , называется число , которое равно скалярному произведению векторного произведения и вектора : .

 
 

 


Основные свойства смешанного произведения векторов:

1) , т.е. порядок двух операций (скалярное и векторное произведение векторов), дающих смешанное произведение векторов, не является существенным. Это свойство и позволяет обозначать смешанное произведение просто ;

2) , т.е. при нарушении цикличности перестановки векторов знак векторного произведения меняется на противоположный;

3) , где и - числа (скаляры).

Зная координаты векторов , и в декартовой прямоугольной системе координат, для вычисления смешанного произведения векторов , и можно воспользоваться следующей формулой:

=

Условие компланарности векторов: Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны.

В самом .деле, равенство означает, что векторы и перпендикулярны. Но есть вектор, перпендикулярный и и . Стало быть, перпендикулярен всем трем векторам одновременно. Это возможно лишь в случае, когда они лежат в одной плоскости;

Геометрический смысл смешанного произведения:

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , , и взятого со знаком «+», если тройка правая, и со знаком «—», если тройка левая: .

 

Воспользовавшись геометрическим смыслом смешанного произведения векторов, можно определить тип тройки векторов по знаку смешанного произведения векторов. Если , то , , ‑ правая тройка векторов, если , то , , ‑ левая тройка векторов.

Полярная система координат.

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы: 1) т.О (полюс); 2) полупрямая ОА (полярная ось); 3) масштаб для измерения длин.  

 

Положение произвольной точки М на плоскости определяется полярными координатами: полярным радиусом ( и полярным углом между полупрямыми и . Считают, что при повороте от к против часовой стрелки и при повороте от к по часовой стрелке. Полярный угол определен не однозначно – значение полярного угла, удовлетворяющее условию , называется главным.

Определим связь между декартовыми координатами на плоскости и полярными координатами. Для этого совместим начало координат и полюс, а полярную ось направим по положительной полуоси абсцисс. Тогда декартовы координаты и полярные координаты произвольной точки М связаны следующими соотношениями:

      и .

 

При нахождении полярного угла необходимо учитывать, в какой координатной четверти расположена т. М и подобрать соответствующее значение .