Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Две прямые на плоскости могут
· совпадать;
· быть параллельными;
· пересекаться.
Пусть даны две прямые 
и 
, задаваемые уравнениями 
и 
соответственно. Определим условия, необходимые и достаточные для определения взаимного расположения данных прямых.
Теорема. Для того чтобы прямые и совпадали необходимо и достаточно, чтобы
| (7) |
Доказательство. Необходимость. Векторы 
и 
являются направляющими для прямых и , значит, они коллинеарны. Существует такое число 
, что 
Умножим уравнение второй прямой на и вычтем его из уравнения первой прямой. 
Это равносильно условию (7). Достаточность. Из условия (7) следует, что 
для некоторого , то есть уравнения, задающие прямые и , эквивалентны. 
Теорема. Прямые и параллельны и не совпадают тогда и только тогда, когда 
(8)
Доказательство. Необходимость следует из пропорциональности направляющих векторов и справедливости предыдущей теоремы.
Достаточность. Первая часть условия (8) дает параллельность направляющих векторов, вторая — несовпадение прямых.
Теорема. Прямые и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 
(9)
Доказательство. Данное утверждение следует из предыдущих двух теорем. Полуплоскости, связанные с данным уравнением
Пусть даны плоскость и лежащая на ней прямая. Две точки 
и 
лежат по одну сторону от прямой, если отрезок 
не пересекается с данной прямой. Полуплоскостью называют множество всех точек, которые лежат по одну сторону от прямой.
Теорема. Если прямая 
на плоскости задана уравнением (5), то множества 
и 
всех точек 
, для которых 
и 
, являются полуплоскостями, ограниченными прямой .
Доказательство. Пусть точки 
и 
лежат в множестве . Рассмотрим произвольную внутреннюю точку отрезка 
. Поскольку эта точка делит отрезок в некотором соотношении 
, ее координаты 
Учитывая очевидное тождество 
, получаем 
так как обе точки 
и 
принадлежат . По определению полуплоскости лежит в одной из полуплоскостей, ограниченных прямой . Аналогичные рассуждения верны и для . Поскольку плоскость исчерпывается множествами , и , то множества и лежат в разных полуплоскостях и исчерпывают их.
Множество называют отрицательной полуплоскостью по отношению к уравнению (5) прямой , а — положительной полуплоскостью.
Если ту же прямую задать другим уравнением
| (5') |
то существует такое , что 
. Очевидно, что при 
положительная и отрицательная полуплоскости для уравнения (5') совпадают с такими же для уравнения (5), а при 
полуплоскости меняются местами.
Плоскости в пространстве
Утверждения о плоскости в пространстве аналогичны утверждениям о прямой на плоскости. Основное различие — в размере формул. Поэтому при выводе формул, принципиально не отличающихся от формул для прямой на плоскости, некоторые детали будут опущены.
Уравнения плоскости
Пусть известны координаты точки и два неколлинеарных вектора 
и 
, лежащих в плоскости. Рассмотрим произвольную точку 
, принадлежащую плоскости. Вектор 
, очевидно, лежит в плоскости, что по определению означает, что векторы 
компланарны. В силу линейной независимости векторов и , это значит, что вектор можно линейно выразить через и :
| (10) |
Обозначим через 
и 
радиусы-векторы точек и соответственно. Тогда 
и уравнение принимает вид 
Или 
(11)
Уравнение (11) называют векторным уравнением плоскости'.
Возьмем некоторую аффинную систему координат в пространстве. Пусть точки и векторы имеют координаты
Переходя от равенства векторов к равенству их координат, получаем 
(12
Это параметрические уравнения плоскости. Эквивалентная система уравнений 
выражает линейную зависимость столбцов матрицы 
что эквивалентно равенству 
(13)
или (после раскрытия определителя по первой строке) уравнению 
Обозначив 
, получим общее уравнение плоскости 
(14)
Аналогично случаю плоскости можно доказать, что в пространстве плоскости и только плоскости описываются уравнением первой степени.
Если плоскость задана тремя точками с координатами 
, не лежащими на одной прямой, то принимают 
. Тогда уравнение (13) принимает вид 