Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение .

Опр. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число

Х х1 х2 х3 … хn
Р р1 р2 р3 … рn

 

M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

 

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х
Р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

1. М(СХ)=С*М(Х).

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)

 

Опр. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается

Опр.. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии. .

На практике часто используют формулу .

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х
Р 0,3 0,5 0,2

Найти D(X)? ?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины

(0-0,9) (1-0,9) (2-0,9)
Р 0,3 0,5 0,2

 

D(X)=(0-0,9) *0,3+(1-0,9) *0,5+(2-0,9) *0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.

 

 

Контрольная работа по «Математике»

ВАРИАНТ 1

 

  1. Упростить алгебраическое выражение

 

  1. Вычислить предел последовательности

  1. Вычислить предел последовательности

  1. Вычислить предел функции

  1. Найти производную функции

  1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции

f(х)= х - 7.5 х +18х

Найти неопределенный интеграл

dx

  1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= х +х и у=х+1

Найти частное решение дифференциального уравнения

(х+1) dу + (y-2) dx=0 при х =1; y =4

Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов

Геометрической прогрессии

1+q+q +…+ q +… , <1

ВАРИАНТ 2

 

Упростить алгебраическое выражение

а *

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел функции

  1. Найти производную функции

у = 4е

  1. Найти экстремумы функции

f(х)= (х – 2)

  1. Найти неопределенный интеграл

dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у= -2х +3х+6 и у=х+2

Найти частное решение дифференциального уравнения

dx при х =2; y =5

Исследовать на сходимость ряд

1+1+1+…+ 1+…

ВАРИАНТ 3

 

Упростить алгебраическое выражение

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел последовательности

Вычислить предел функции

Найти производную функции

у = х *sin х+

Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(х)= х - 2х +х-2 на отрезке [0,5; 2]

Найти неопределенный интеграл

sin х dx

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = х ; у = ; у = 0 ; х = 2

Найти частное решение дифференциального уравнения

ху -у=0 при х = -4; y = 2

10. Исследовать ряд на сходимость

ВАРИАНТ 4