Производные высших порядков
Производная 
называется производной 1-го порядка. Однако производная сама является функцией, которая также может иметь производную.
Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка.
Обозначается: 
и т.д.
Механический смысл 2-й производной: 2-ая производная пути во времени 
равна ускорению точки в момент 
.
Основные теоремы дифференциального начисления
Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция 
достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке 
этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. 
.
Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на 
, дифференцируема на 
и 
. Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка 
, в которой производная равна нулю: 
.
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на . Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка , в которой:
или 
.
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Другими словами, если имеется неопределенность вида 
или 
, то 
Дифференциал
Пусть функция определена на промежутке Xи дифференцируема в окрестности точки 
. Тогда существует конечная производная 
. Отсюда 
, где 
бесконечно малая при 
, или 
.
Таким образом, приращение функции 
состоит из двух слагаемых – линейного относительно 
и нелинейного, представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем .
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
.
Например, дифференциал функции 
равен 
, откуда 
. Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
откуда 
.
Геометрический смысл дифференциала: дифференциал равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда xполучает приращение (см. рис. выше).
Свойства дифференциала в основном аналогичны свойством производной:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
Рассмотрим сложную функцию 
. Если функции 
и 
– дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции равна 
. Тогда дифференциал функции 
.Таким образом, 
. Это означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной x рассмотреть функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.