Тема 9 Неопределенный и определенный интегралы
Лекция 2.9.1 «Неопределенный интеграл»
Учебные вопросы:
1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
2. Основные методы интегрирования
1. Первообразная функция и неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка
F'(х)=f(x).
Например, F(x)= 
является первообразной для функции f(x)=x2, поскольку 
.
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдётся такое число С, что
F2(x)=F1(x)+C.
Следовательно, если F(x) – первообразная для f(x), то выражение вида F(x)+C, где С – произвольное число, задаёт все возможные первообразные для f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается
где 
– символ интеграла, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение.
Таким образом,
где F(x) – некоторая первообразная для f(x), C – произвольная 
постоянная.
Пример. 
Операция нахождения неопределённого интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Основные свойства неопределённого интеграла:
1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
.
2. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
3. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
где С – произвольное число.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
где 
– некоторое число.
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
.
Основные табличные интегралы
(интегралы от основных элементарных функций):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Примеры:
1) 
2) 
Основные методы интегрирования
Метод замены переменной
Метод описывается формулой:
где 
– функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример.
Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции 
Тогда
где 
и 
– некоторые числа, 
.
Пример.
Интегрирование по частям
Пусть 
– дифференцируемые функции. По свойству дифференциала 
или 
Интегрируя левую и правую части последнего равенства, получим:
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для неопределённого интеграла. Здесь подынтегральное выражение разбивается на два сомножителя – 
и 
При этом дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей. Если при этом интегрирование не слишком усложнит другой сомножитель, то можно упростить процесс интегрирования.
Пример.
В некоторых случаях интегрировать по частям приходится более одного раза.
Пример.
.
Интегрирование по частям применяется к следующим типам интегралов:
1) 
Здесь формулу применяют 
раз; в первом применении 
, остальные сомножители принимаются за 
, пока степень переменной 
не станет равной нулю.
2) 
Здесь принимают 
, остальные сомножители задают выражение для .
Пример.
Лекция 2.9.2 «Определенный интеграл»
Учебные вопросы:
1. Определенный интеграл, его свойства и вычисление
2. Геометрические приложения определенного интеграла
3. Приближенное вычисление определенных и интегралов