Выборка и способы ее записи. Графическое представление выборки
Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для теоретических исследований и практических выводов.
Статистические данные – набор числовых значений, представленных в виде выборки из генеральной совокупности Г, являющейся отображением реального явления в числовое множество.
Математическая статистика не раздел теории вероятностей, а самостоятельная наука со своими понятиями, методами и способами исследования. Изучает как случайные, так и детерминированные явления на основе более или менее обширного статистического материала.
Образно говоря, теория вероятностей, зная все о генеральной совокупности, изучает состав ее выборок. Математическая статистика решает обратную задачу: по изучению состава отдельных выборок пытается получить как можно больше информации о генеральной совокупности.
Основными понятиями математической статистики являются «генеральная совокупность», «выборка», «эмпирическая функция распределения» и «параметры распределения».
Рассмотрим случайный эксперимент, который описывается одномерной случайной величиной x. Множество всех возможных значений случайной величины x будем называть генеральной совокупностью G. Осуществив n независимых повторений эксперимента, получим совокупность n значений случайной величины x, которые обозначим 
. Заметим, что среди этих чисел могут быть и равные.
Совокупность , 
, 
, 
, называется выборкой, а число элементов, входящих в выборку, - ее объемом.
Если провести другую серию из n независимых повторений этого же эксперимента, то получится, вообще говоря, уже другая выборка значений случайной величины x. Поэтому в теоретических исследованиях выборка n значений случайной величины x представляется случайным вектором 
, где 
, , - независимые случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве и имеющие одну и ту же функцию распределения 
, причем - одно из возможных, заранее неизвестных, значений случайной величины x в i-ом повторении эксперимента.
Задачей исследования в математической статистике является построение математической модели случайного эксперимента, проверка адекватности модели изучаемому явлению и, в случае положительного ответа, прогнозирование появления события, как части явления. При построении математической модели предполагается, что выборка репрезентативна, то есть, любой элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность попасть в выборку.
К основным задачам математической статистики относятся: 1) оценка функции распределения; 2) оценка неизвестных параметров; 3) проверка априорных предположений или статистических гипотез.
Пусть задана выборка
.
Элементы выборки, представленные в порядке неубывания элементов, 
, причем 
, образуют вариационный ряд.
Размахом выборки 
называется величина равная разности наибольшего и наименьшего элементов выборки, то есть,
,
где 
.
Пусть в выборке k различных элементов 
. Числа 
, 
, называются вариантами или наблюдениями. Число появлений варианты 
называется абсолютной частотой 
, .
Варианты и соответствующие им абсолютные частоты можно представить в виде таблицы, называемой статистическим рядом распределения (простой статистической таблицей) абсолютных частот:
| x | 
| 
| … |
|
| m | 
| 
| … | 
|
Если на плоскости построить точки ( 
), , и соединить их отрезками прямых, то полученная ломанная называется полигоном абсолютных частот:
Если x - непрерывная случайная величина, то весь диапазон ее значений делят на k интервалов (длины которых определяют по формуле 
, 
) и подсчитывают количество 
, 
, вариант, попавших в данный интервал. По абсолютным частотам каждого из интервалов находят относительные частоты 
, . Очевидно, 
.
Полученные интервалы и соответствующие относительные частоты 
записывают в виде таблицы, называемой интервальным статистическим рядом распределения (интервальной статистической таблицей):
| x | 
| 
| … | 
|
| w | 
| 
| … | 
|
Графическим представлением интервального статистического ряда является гистограмма:
Для ее построения по оси абсцисс откладывают интервалы и на каждом из них строят прямоугольники высотой 
, 
.
Площадь гистограммы равна 1. В теории вероятностей гистограмме соответствует график плотности распределения вероятностей.
Замечание. На основании гистограммы можно построить полигон частот. Для этого достаточно соединить середины верхних сторон прямоугольников отрезками прямых. В этом случае непрерывную случайную величину можно рассматривать как дискретную, эмпирические значения которой совпадают с координатами 
, .
Гистограмму и полигон частот используют для подбора модели распределения изучаемой случайной величины x.
Эмпирической функцией распределения 
называется относительная частота события ( 
) в данной выборке значений случайной величины x, то есть, 
, где 
- число 
меньших x, 
- объем выборки.
В силу закона больших чисел эмпирическая функция распределения является оценкой подлинной функции распределения 
при 
, поэтому функция обладает свойствами в полнее аналогичными :
1) 
, 
;
2) функция является неубывающей функцией;
3) если 
, то 
, если 
, то 
.
Функция - ступенчатая, возрастает скачками, которые соответствуют наблюдениям, и равны относительным частотам этих значений:
