ВЫПУКЛОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
РАЗДЕЛ 6. ВЫПУКЛОСТЬ
· Излагается важное в дальнейшем понятие выпуклости
· Рассматриваются вопросы выпуклости функций одной и нескольких переменных
ВЫПУКЛОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
Определение.Непрерывная на интервале (a,b) функция f , называется выпуклой вниз (соответственно, выпуклой вверх), если для любых точек ,
, и любого числа
справедливо неравенство
(1)
(соответственно, неравенство
. (1’)
В правой части неравенства (1) стоит значение функции f в произвольной точке , расположенной на отрезке
, содержащемся в интервале (a,b). Левая часть в (1) выражает собой ординату точки координатной плоскости, абсцисса которой равна
,
, и которая лежит на прямолинейном отрезке (хорде), соединяющем точки
и
графика функции f.
Итак, если непрерывная функция f выпукла вниз на интервале (a,b), то для любых его точек ,
, график функции f на отрезке
расположен ниже хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, а)).
Рис.1
Аналогично, заключаем, что если непрерывная функция f выпукла вверхна интервале (a,b), то для любых его точек ,
, график функции f на отрезке
расположен выше хорды, стягивающей концевые точки графика на этом отрезке (см. рис.1, b)).
Обозначим . Тогда
, откуда
.
Неравенство (1) принимает вид
, (2)
или, после умножения обеих частей его на множитель ,
. (3)
Поскольку , то после элементарных преобразований неравенство (4) переходит в неравенство
, (4)
справедливое для любого .
Итак, условие (1) равносильно неравенству (4).
В случае выпуклости вверх знаки неравенств (2)-(4) следует сменить на противоположные.
ВЫПУКЛОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
Теорема.Для того, чтобы дифференцируемая на функция f была выпукла вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функция
не убывала (не возрастала) на этом интервале.
◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает.
Пусть ,
. Переходя в неравенстве (4) к пределу при
, получим:
. (5)
Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:
. (6)
Из неравенств (5) и (6) следуют неравенства , что и требовалось доказать.
Обратно, пусть производная функция не убывает на
. Пусть
,
. Следует доказать, что выполняется неравенство (4). Для этого заметим, что
дифференцируема на
, следовательно, непрерывна на
и непрерывна на
. Тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезку
где
, находим:
. (7)
Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку
. . (8)
Так как не убывает на
, выполняется неравенство
, из которого следует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.►
Теорема.Функция , дифференцируемая на интервале
,тогда и только тогда выпукла вниз на этом интервале, когда для любой точки
и любой точки
справедливо неравенство
.
Противоположное неравенство
,
справедливо для всех, тогда и только тогда, когда функция
выпукла вверх на
.
◄ Доказательство проведём для случая выпуклой вниз функции. Пусть сначала дифференцируемая функция выпукла вниз на
. Тогда, какустановлено в теореме 30.1, справедливы неравенства (5) и (6).Неравенство (5) можно преобразовать к равносильному виду
. (9)
Преобразование состоит в умножении обеих частей неравенства (5) на положительный знаменатель и замене обозначений: точку заменяем на
, а точку
на точку
, считая, что
. Точно также, при
, преобразуем неравенство (6), заменяя точку
на точку
, а точку
на
. После этого преобразования снова получим неравенство (9).
Таким образом, если дифференцируемая функция выпукла вниз на интервале , то для всех
выполняется неравенство (9). Для выпуклой вверх функции имеем, соответственно,
.
Обратно, пусть для всех выполняется неравенство (9).
Рассмотрим произвольные точки ,
. Применяя неравенство (9) к точке
и считая
, получим неравенство
, а применяя его к точке
и считая
, получаем неравенство
, на основании которых, с учётом условия
, имеем
.
Следовательно, производная функции не убывает на
. По теореме 30.1 функция
выпукла вниз на
. ►
Геометрически свойство выпуклости вниз дифференцируемой функции f на означает, что её график в пределах этого интервала располагается выше касательной, проведенной в любой точке графика; для выпуклой вверх дифференцируемой функции картина противоположная (см. рис. 2).
Рис.2
Замечание 1. Если обозначить
,
то свойство выпуклости вниз(вверх) дифференцируемой функции на
равносильно тому, что для любой точки
неравенство
(
) справедливо для всех
. Отметим, что