ВЫПУКЛЫЕ ВВЕРХ И ВЫПУКЛЫЕ ВНИЗ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Назовём множествовыпуклым,еслидля любых двух точек этого множества отрезок, соединяющий их, весь принадлежит этому множеству.
Наглядное определение выпуклости функции можно сформулировать так: функция выпукла вверх(вниз) , если она определена на выпуклом множестве и для любых двух точек графика этой функции отрезок, соединяющий их, лежит под(над) графиком этой функции.
Переформулируем это определение в виде, более удобном для проверки и пригодном для функции . Пусть
,
,
,
). Любую точку
отрезка, соединяющего точки
,
можно представить в виде
,
Соответствующую ей точку
графика
можно представить в виде
. То, что точка
лежит над
, означает, что
()
Если это неравенство выполнено для всех ,
из некоторого выпуклого множества
и любого
то мы говорим, что
выпукла вверх на
Выпуклость вниз означает смену неравенства () на противоположный. Если нестрогие неравенства при
заменяются строгими, то говорят о строгой выпуклости. Легко видеть, что выпуклость вверх функции
равносильна выпуклости вниз функции
, и наоборот.
Если функция имеет непрерывные вторые производные, то условия выпуклости можно представить в удобном для проверки виде.
Теорема.Пусть выпуклое подмножество
. Тогда
-
выпукла вниз тогда и только тогда, когда для любой точки
выполнены неравенства
.
-
выпукла вверх тогда и только тогда, когда для любой точки
выполнены неравенства
.
- Если для любой точки
выполнены неравенства
то
строго выпукла вниз.
- Если для любой точки
выполнены неравенства
то
строго выпукла вверх.
В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим функцию Кобба-Дугласа
на выпуклом множестве =
.
Так как выполнены неравенства
Кроме того,
По второму пункту теоремы, выпукла вверх. Если
, то
строго выпукла вверх.
Теорема допускает обобщение на функции от большего количества переменных.
Теорема.Пусть выпуклое подмножество
Рассмотрим матрицу её второго дифференциала (матрицу Гессе)
и её главные угловые миноры
.
Если для всех
S и всех
то
строго выпукла вниз.
Если для всех
S и всех
то
строго выпукла вверх.
Перейдём к случаю нестрогой выпуклости. Назовём главным минором матрицы порядка любой её минор, полученный вычеркиванием из исходной матрицы
строк и
столбцов с одинаковыми номерами. Без ограничения общности обозначим
произвольный главный минор рассматриваемой матрицы.
Теорема. выпукла вниз тогда и только тогда, когда
для всех
S и всех главных миноров порядка
выпукла вверх тогда и только тогда, когда
для всех
S и всех главных миноров порядка
Результаты этих теорем можно переформулировать в терминах второго дифференциала функции
Теорема.Пусть выпуклое подмножество
Если положительно определённая квадратичная форма, то
строго выпукла вниз.
Если отрицательно определённая квадратичная форма, то
строго выпукла вверх.
выпукла вниз тогда и только тогда, когда
положительно полуопределённая квадратичная форма.
выпукла вверх тогда и только тогда, когда
отрицательно определённая квадратичная форма.
Сформулируем ещё две полезные теоремы.
Теорема.Если выпуклы вверх(вниз) и
то
выпукла вверх(вниз).
Теорема.Пусть выпуклое подмножество
,
определена на интервале, содержащем множество значений
S . Тогда:
- Если
выпукла вверх и
выпукла вверх и возрастает, то
выпукла вверх.
- Если
выпукла вниз и
выпукла вниз и возрастает, то
выпукла вниз.
- Если
выпукла вверх и
выпукла вниз и убывает, то
выпукла вниз.
- Если
выпукла вниз и
выпукла вверх и убывает, то
выпукла вверх.
& Пусть ,
выпуклое подмножество
. Тогда, в первом случае,
(
)
(
+
,
что и требовалось доказать. Остальные случаи рассматриваются вполне аналогично.%
Примечание.В этой теореме все условия существенные. Например, если ,
, то, хотя обе эти функции строго выпуклы вверх, функция
выпукла вниз в некоторой окрестности точки
Следовательно, условие возрастания функции в первом утверждении теоремы отбросить нельзя. Условие выпуклости функции
тоже нельзя отбросить, как показывает следующий пример. Пусть
,
. При этом первая функция выпукла вверх, а вторая возрастает. Однако
выпуклая вниз функция.