Формула полной вероятности.
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий 
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых 
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса)
Пример:Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 7 черных шаров, во второй – только белые и в третьей – только черные шары. Наудачу выбирается одна урна и из неё наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар чёрный?
Решение: рассмотрим событие 
– из наугад выбранной урны будет извлечён чёрный шар. Данное событие может произойти в результате осуществления одной из следующих гипотез:
– будет выбрана 1-я урна;
– будет выбрана 2-я урна;
– будет выбрана 3-я урна.
Так как урна выбирается наугад, то выбор любой из трёх урн равновозможен, следовательно:
Обратите внимание, что перечисленные гипотезы образуют полную группу событий, то есть по условию чёрный шар может появиться только из этих урн, а например, не прилететь с бильярдного стола. Проведём простую промежуточную проверку:
, ОК, едем дальше:
В первой урне 4 белых + 7 черных = 11 шаров, по классическому определению:
– вероятность извлечения чёрного шара при условии, что будет выбрана 1-я урна.
Во второй урне только белые шары, поэтому в случае её выбора появления чёрного шара становится невозможным: 
.
И, наконец, в третьей урне одни чёрные шары, а значит, соответствующая условная вероятность извлечения чёрного шара составит 
(событие достоверно).
По формуле полной вероятности:
– вероятность того, что из наугад выбранной урны будет извлечен чёрный шар.
Ответ: 
Формула Байеса.
Пусть событие 
происходит одновременно с одним из 
несовместных событий 
. Требуется найти вероятность события 
, если известно, что событие произошло.
На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать
Откуда
или
Формула носит название формулы Байеса.
Пример. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.
Решение. Пусть 
— события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут
, 
, 
По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета
По формуле Байеса находим исходную вероятность
.