Задачи на поиск собственных чисел и векторов.
Задача 3. Найти собственные числа и векторы линейного оператора, заданного матрицей: .
Решение.Сначала построим харакреристическое уравнение, то есть отнимем по главной диагонали, и приравняем этот определитель к нулю.
. Вычислим определитель, чтобы свести всё к уравнению.
. Характеристические корни
,
.
Теперь поочерёдно подставляем каждое конкретное из найденных , и формируем однородную систему.
система:
Здесь есть единственная информация: . Переменной
в системе нет, но это значит, что она может принимать любое значение, она не влияет на систему уравнений. Распространённая ошибка в данном случае - думать, что если коэффициенты при
нулевые, то
. На самом деле
является свободной неизвестной. Если вспомнить тему «ранг матрицы», то увидим, что базисный минор матрицы
это минор 1-го порядка, и расположен именно во втором столбце (любая клетка размера 1 на 1), где есть число. Невырожденного минора 2-го порядка здесь нет. Таким образом, 1-я переменная свободная, и пусть даже 2-я через неё здесь не выражена, а просто равна 0, но всё равно свободной переменной мы можем присвоить любое значение, например 1. Итак, ФСР в данном случае (1,0), и именно это и является собственным вектором. Проверка:
.
Замечание. Любой вектор на этой прямой, то есть вида (с,0) тоже является собственным.
система состоит из одного уравнения:
. Ранг системы равен 1, а вот базисный минор можно выбрать как в 1-м так и во 2-м столбце, поэтому любую переменную можно считать свободной. Неважно, какую выразить через другую, всё равно одна и та же информация:
или
. Задавая одну, получаем вторую. Вектор (1,1).
Проверка: . Действительно, мы нашли такой вектор, который при умножении на эту матрицу становится больше в 3 раза.
Ответ. вектор (1,0),
вектор (1,1).
Задача 4. Найти собственные числа и векторы для матрицы .
Решение.
.
. Корни
, то есть
и 5.
Ищем собственный вектор для каждого из этих чисел.
система состоит из двух одинаковых уравнений
Одну переменную выразим через вторую . ФСР
.
система состоит из пропорциональных уравнений
Одну переменную выразим через вторую . ФСР
.
Ответ. вектор
,
вектор (1,1).
Проверка. ,
.
Задача 5. Найти собственные числа и векторы для матрицы .
Решение.
Здесь хар. корень кратности 2: .
Ищем собственные векторы.
Однородная система состоит всего лишь из одного уравнения .
При этом формально свободная переменная, так как базисный минор 1-го порядка во втором столбце, а 1-й столбец тогда не базисный. То есть
можно присваивать любое значение, например 1.
Итак, собственный вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет.
Ответ. , собственный вектор (1,0).
Замечание. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.
А если бы матрица изначально была то система уравнений получилась бы только из уравнений вида 0 = 0, то есть обе переменные свободные, ФСР было бы (1,0) и (0,1) и тогда собственные векторы - вся плоскость.
Задача 6. Найти собственные числа и векторы .
Решение. сводится к уравнению
, корни которого
.
Найдём собственные векторы.
. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений
то есть
.
Из этих уравнений следует, что , про
нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).
. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений
то есть
.
Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0).
Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.
. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений
то есть
.
Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го
, а затем из 1-го
, то есть
.
ФСР: вектор (1,1,1).
Ответ.
Собст. число собст. вектор (1,0,0),
собст. число собст. вектор (1,1,0)
собст. число собст. вектор (1,1,1).
Задача 7. Найти собственные числа и векторы
Решение.
разложим по 2-й строке:
=
что сводится к
, первый корень и так виден и равен 1, у второго выражения найдём корни, например, через дискриминант, получаем 1 и 2. Итак,
, корни 1,1,2, они же собственные числа. Два характеристических корня совпали (1 это корень кратности 2). Теперь ищем собственные векторы.
.
, если в такой системе уравнений вычесть из 3-го уравнения утроенное 1-е, то 3-е обнулится, и в итоге ранг системы равен 1. То есть мы видим, что в случае корня кратности 2, ранг понизился сразу на 2 пункта, здесь будет 2 свободных неизвестных.
Итак, система из 1 уравнения с 3 неизвестными: .
Тогда , свободные переменные
поочерёдно принимают значение 1, ФСР из двух векторов: (1,0,2) (0,1,2).
.
, при этом сразу замечаем, что из 2-го уравнения будет следовать
, поэтому в остальных уравнениях его сразу не пишем. Однородная система:
Ещё два уравнения в ней пропорциональны, так что в итоге, у нас есть такое общее решение: . ФСР вектор (1,0,3).
Ответ.Кратный корень два вектора: (1,0,2) (0,1,2),
Корень вектор (1,0,3).
Проверка. ,
,
.
Задача 8. Доказать, что линейный оператор не имеет собственных векторов.
Решение. .
, действительных корней нет, то есть корни комплексные, они
.
Замечание. Если линейный оператор в 3-мерном пространстве, то характеристический многочлен 3 степени, и в том случае есть по крайней мере хотя бы один действительный корень.
Задача 9. Доказать, что для оператора поворота в общем случае нет собственных векторов, и найти такие углы
, при которых собственные векторы есть.
Решение. ,
,
, получили многочлен вида
, где
.
.
так как
. Лишь для углов 0 и
получается D = 0, и тогда собственные векторы есть. При
матрица линейного оператора примет вид
, тогда все векторы плоскости являются собственными, и соответствуют числу
.
При матрица
, все векторы собственные, соответствуют
.
Задача 10. Найти собственные числа и векторы .
Решение. сводится к уравнению
, корни которого:
.
.
, система
откуда , ФСР это вектор
.
.
, система
откуда , ФСР это вектор
.
.
, система
откуда , а значит и
,
свободная переменная.
Тогда ФСР это вектор (1,0,0).
Ответ.
Собст. число собст. вектор
,
собст. число собст. вектор
,
собст. число собст. вектор (1,0,0).
Домашнее задание. (9.6 из [1]). Найти собственные числа и векторы для линейного оператора .
Ответ.
Собст. число собст. вектор
,
собст. число собст. вектор (0,1,1),
собст. число собст. вектор
.
Практика 10
Задача 1.Найти собственные числа и векторы
Решение.Найдём собственные числа с помощью характеристического уравнения.
сводится к
Видно, что есть по крайней мере один корень .
Затем разделим многочлен на
, получим крадратичное уравнение и там найдём ещё 2 корня.
Итак, разделилось без остатка. Таким образом,
=
.
Для многочлена 2 степени: . Корни
, т.е. 3 и 4.
Итак, собственные числа: ,
,
.
Теперь ищем вектор для каждого из этих чисел.
Пусть . Составим однородную систему
здесь сразу видим, что 2 и 3 строка одинаковы, то есть 3-е уравнение копия 2-го, так что в системе фактически не 3, а 2 уравнения.
Запишем систему, заодно при этом поделив 1-е уравнение на 2.
Из 1-го сразу , подставляя во 2-е, можно также и
выразить через
:
, т.е.
. При этом
свободная переменная. Общее решение
. ФСР это вектор (1,2,3).
Пусть теперь . Составим однородную систему:
Из 1-го уравнения сразу очевидно .
Система: Если учесть
, то
так что очевидно, что и
. ФСР (1,1,1).
Пусть теперь . Составим однородную систему:
Система:
из 1-го уравнения , подставим эту информацию во 2-е и 3-е.
значит
. ФСР (2,1,1).
Ответ. собственный вектор (1,2,3),
собственный вектор (1,1,1),
собственный вектор (2,1,1).
Квадратичные формы.
Задача 2. Построить матрицу квадратичной формы:
.
Решение.По диагонали коэффициенты при квадратах, а остальные должны быть разделены поровну, то есть .
Таким образом мы добиваемся, чтобы матрица была симметрической.
Ответ. Матрица .
Проверка.
=
.
Задача 3.Квадратичную форму привести к главным осям.
Решение. Сначала построим её матрицу: .
Характеристическое уравнение , собственные числа
. Ищем собственные векторы для каждого из них.
:
,
, собственный вектор (1,1).
Нормируем этот вектор, то есть делим на его длину, которая составляет . Получаем
.
:
,
, собственный вектор
.
Нормируем его: .
Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична (что и так следует из теоремы 7, см.лекции).
Обратите внимание, что этот новый базис - повёрнутый на 450 декартов базис, то есть (1,0) и (0,1). Синим цветом нарисованы векторы (1,0) и (0,1) а красным и
.
При таком преобразовании плоскости не искажаются площади фигур. Если бы мы не нормировали векторы, то при линейном преобразовании искажались бы площади, коэффициенты квадратичной формы в новом базисе не получились бы равны собственным числам . Причём если
это именно 2-й а не 1-й, то преобразование плоскости получается без зеркального отражения, т.е. просто поворот.
Запишем связь старых и новых координат, новые мы обозначаем .
здесь надо вспомнить, что для нахождения новых координат мы решали систему уравнений, где основная матрица - это «матрица перехода», у которой в столбцах векторы нового базиса.
Итак, верны такие формулы: ,
.
В записи квадратичной формы заменим по этим формулам. Мы увидим, что после приведения подобных сократятся все произведения, содержащие разные переменные, вида
, и останутся только квадраты, причём коэффициентами как раз и окажутся собственные числа.
=
=
=
.
Ответ.Кв.форма: , новый базис
и
.
Задача 4. Квадратичную форму привести к главным осям.
Решение. Матрица квадратичной формы .
Найдём собственные числа и векторы. Характеристическое уравнение =
=
=
Собственные числа 5 и 1.
Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности.
:
,
, ранг системы = 1, остаётся одно уравнение
, собственный вектор (1,1).
Аналогично,
:
,
, ранг системы = 1, остаётся одно уравнение
, собственный вектор (-1,1).
Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:
и
.
Обозначим новые координаты , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:
- отсюда, умножив матрицу на столбец, можно записать формулы связи старых и новых координат:
,
.
Если мы подставим эти в исходную квадратичную форму
, то увидим, что в ней не будет произведений типа
, а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее:
=
=
=
=
.
Собственные числа, как видим, как раз и оказались в роли коэффициентов при квадратах.
Ответ. , новый базис
и
.
Задача 5. Привести к главным осям квадратичную форму:
Q(x,y) = 14 +24
+21
.
Решение. Матрица: . Ищем собственные числа и векторы.
=
=
.
,
, корни 30 и 5.
Ищем собственные векторы.
Пусть .
,
уравнения в такой системе пропорциональны, ранг равен не 2, а 1.
Фактически, здесь одно уравнение: .
Можно в качестве ФСР принять вектор (3,4).
Однако его ещё надо нормировать. Длина равна = 5.
Итак, нормированный собственный вектор .
Пусть .
,
уравнения пропорциональны, ранг равен 1.
Фактически, здесь одно уравнение: .
Можно в качестве ФСР принять вектор . Длина равна 5. Нормированный собственный вектор
.
Итак, новый базис состоит из векторов и
.
Переход к новым координатам:
, т.е.
,
.
Если подставить эти выражения в 14 +24
+21
и привести подобные, получим 30
+5
.
+ 24
+ 21
=
+
+
=
+
+
=
+
+
= 30
+5
.
Ответ. 30
+5
, новый базис:
и
.
Аналитическая геометрия.