Единичная функция Хэвисайда. Запись оригиналов с помощью функции Хэвисайда.
Определение.Единичной функцией Хэвисайда называется функция .
График этой функции выглядит следующим образом:
![]() |
С помощью этой функции оригиналы можно записывать в аналитическом виде.
Пример 1. Построить график и записать единым аналитическим выражением .
Решение.
Пример 2. Построить график и записать единым аналитическим выражением
Решение.
Определение.Смещенной единичной функцией Хэвисайда называется функция ,
.
Число - это “ задержка ” или смещение этой функции.
График смещённой функции Хэвисайда выглядит следующим образом.
С помощью функции Хэвисайда, любую функцию можно “включить с задержкой
“ путём умножения на
.
Пример 3. Построить график и записать единым аналитическим выражением .
Решение.
Пример 4. Построить график и записать единым аналитическим выражением .
Решение.
Примеры для самостоятельного решения
Построить графики следующих оригиналов
1) ; 2)
; 3)
; 4)
Ответы:
1)
![]() | 2)
![]() |
3)
![]() | 4)
![]() |
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение функции Хевисайда
2. Дайте определение смещенной функции Хевисайда
Преобразование Лапласа. Изображение оригинала. Основные свойства изображения.
Определение.Изображением функции - оригинала называется функция
комплексной переменной
, определяемая формулой
.
Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа.
Определение.Преобразование, ставящее в соответствие оригиналу его изображение
называют преобразованием Лапласа.
Теорема. Для всякого оригинала существует изображение
, определённое в полуплоскости
, где
— показатель роста
, причём связь между
и
является взаимно – однозначной.
Соответствие изображения оригиналу
можно обозначать следующим образом:
, а соответствие оригинала
изображению
таким образом:
.
Пример 1. Найти изображение функции Хэвисайда :
Таким образом , если
.
Перечислим основные свойства преобразования Лапласа.
Свойство линейности.
Если , а
, то при любых
.
Свойство затухания.
Если , то
.
Свойство подобия.
Если , то
для любого
.
С помощью основных свойств преобразования Лапласа и найденного ранее изображения функции , получим изображения следующих оригиналов :
,
,
,
,
,
,
,
,
, которые затем поместим в таблицу.
Найдем изображение константы с.
.
Далее воспользуемся формулами Эйлера, чтобы найти изображение остальных функций:
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Используя свойства затухания и линейности получаем :
;
;
;
.
Применяя свойство затухания, получаем:
;
;
;
.
Примеры 1-4.Найти изображение следующих оригиналов
1) ![]() | 2) ![]() | 3) ![]() | 4) ![]() |
Решение.
Сначала оригиналы приводим к табличному виду, а затем находим их изображения:
1)
2)
3)
4)
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение изображения
2. Сформулируйте теорему линейности
3. Сформулируйте теорему подобия
4. Сформулируйте теорему затухания