Теорема об интегрировании оригинала.
Если 
, то 
.
Примеры. Найти оригинал и изображение:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
Решение.
1) 
- по теореме об изображении интеграла.
 , тогда  .
| |
2) 
 , отсюда  .
| |
3)  ;
 , т.о.
 .
| |
| Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте теорему об интегрирования оригинала | |
Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих интегралов
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6) 
|
Ответы:
1)  ;
| 2)  ;
| 3) 
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6) 
|
Изображение периодического оригинала.
Теорема.Если 
-периодический оригинал с периодом 
, то его изображение определяется по формуле 
.
На практике же для нахождения изображения периодического оригинала вводят функцию 
, которую представляют в виде 
. Изображение этой функции обозначают 
и находят с помощью рассмотренных ранее методов, а изображение функции можно выразить по формуле 
.
Примеры
1)Найти изображение последовательности единичных прямоугольных импульсов длительности 
повторяющихся с периодом 
.
Решение. Изобразим последовательность импульсов:
Запишем оригинал и найдем изображение
, 
, 
2) Найти изображение “пилообразной” функции: 
 |
Решение. Запишем оригинал и найдем его изображение:
3) Найти изображение следующей периодической функции:
Решение.
, 
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему об изображении периодического оригинала
Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих периодических функций:
| 1) | 2) |
 | |||
 |
| 3) | 4) |
 5)
| 6) |
 | |||
 |
Ответы.1)
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 
.
Свертка. Изображение свертки.
Определение.Сверткой двух функций-оригиналов 
называется интеграл 
.
Свертки обладают следующими свойствами:
1. 
2. 
3. 
Теорема об изображении свертки.
Если 
и 
, то 
.
Примеры 1-6. Восстановить оригинал, используя определение свертки.
1) 
Решение.
;
2) 
Решение.
;
В следующих примерах для восстановления оригиналов будем использовать таблицу сверток, приведенную в конце пособия.
3) 
Решение.
.
По таблице сверток находим, что
4) 
Решение.
По таблице сверток находим, что это соответствует оригиналу 
.
5) 
Решение.
По таблице сверток находим, что эта свертка соответствует оригиналу
6) 
.
Решение.
, а это соответствует оригиналу 
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение свертки
2. Сформулируйте теорему об изображении свертки
Примеры для самостоятельного решения.
Восстановить оригиналы, используя свертку.
1)  ;
| 3)  ;
|
2)  ;
| 4) 
|
Ответы.
1)  ;
| 3)  ;
|
2)  ;
| 4)  ;
|
Восстановление оригиналов по изображению.
Заключительный шаг схемы применения операционного исчисления состоит в нахождении оригинала по полученному изображению, этот шаг или эту операцию называют обратным преобразованием Лапласа и символически записывают следующим образом: 
.
Раcсмотрим основные способы восстановления оригиналов по изображениям.