Заполнение всех квадратов ходом коня
Связав решения с ходом коня, можно поставить задачу более высокого порядка, т. е. применить индукцию и найти решения для всех квадратов. И тут выявится язык более высокого порядка.
Формирование полного перечня решений, формирование для них алгоритма и построение языков все более высокого порядка – это переход от вычислительного стиля мышления к математическому и, наконец, к философскому.
Здесь решение оказывается, на удивление, простым. Во-первых, заполнение квадратов на 3, 4, 5, 6, 7, 8 уже дает почву для обобщений. Теперь их можно применить. Оказывается, можно свести квадрат большей величины к квадрату меньшей. Так, если имеем квадрат 1 × 1, то, добавив вокруг него полосу размером в две строки, получаем квадрат 5 × 5, из 2 × 2 – 6 × 6, из 3 × 3 – 7 × 7, из 4 × 4 – 8 × 8, из 5 × 5 – 9 × 9 и т. д., заполнение полос, переводящих один квадрат в другой, – отдельная задача. Гипотеза о симметрии позволяет предположить, что на самом деле есть четыре варианта полос, которые сводят задачу обо всех квадратах к четырем семействам заполнения:
1 – 5 – 9 – 14 – …; 2 – 6 – 10 – 14 – …; 3 – 7 – 11 – 15 – …; 4 – 8 – 12 – 16 – …
Для проверки гипотезы можно заполнить, сохраняя симметрию, полоски 1‑5, 2–6, 3–7, 4–8, а затем полоски второго уровня. Оказывается, что действительно имеем четыре типа заполнения полос, и эти типы воспроизводятся в последующих полосах.
В таблице объединено решение для квадратов 2, 6 и 10. Первоначально заполняем полосу, переводящую квадрат 2 × 2 к квадрату 6 × 6.
Таблица № 16
Для этого ходом коня предполагаем, что если конь ходит в угол, то он должен туда войти и выйти, а значит, угол не может быть окончанием последовательности. Приняв это (ограничивающее варианты решений магического квадрата, но необходимое для решений типа «ходом коня»), можно продолжить последовательность цифры, поставленной в угол. В полоске данного типа эта последовательность оказывается замкнутой. Оказывается, полоска заполняется четырьмя симметричными последовательностями.
Заполнив полоску, мы может понять, как заполняется квадрат 2 на 2, тут цифры должны стоять асимметрично полоске. Затем для примера заполним одну последовательность (единиц) для полоски, переводящей квадрат 6 на 6 в квадрат 10 на 10. Получаем последовательность, аналогичную более малой полоске. Таким образом, можно индуктивно предположить, что все полоски этого размера заполняются путем симметричного расположения четырех последовательностей, причем каждая их них опирается на свой угол. Эти последовательности замкнуты.
Задача такого типа легко переводится в задачу заполнения магического квадрата. Так как можно, во-первых, переходить при заполнении из одной последовательности к другой, а во-вторых, можно ставить новые цифры по возрастающей, соединяя последовательности, тогда получаем настоящий магический квадрат. Напомним, что в настоящем магическом квадрате цифры не 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, а 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таким образом, мы не получаем еще всех решений магического квадрата, но получаем язык решений. То есть, во-первых, получаем частичные схемы заполнения, которые при комбинировании ими дают все решения, т. е. мы видим структуру решения и причинность вариативности, а во-вторых, получаем представление о симметрии структуры заполнения магического квадрат определенного типа. Задача с помощью языка конкретизируется и структурируется. Последовательности, которые выявляются в рассматриваемом решении, годятся для построения универсальной системы решений магического квадрата как часть будущего общего языка и показывают достаточно полную модель языка решений вообще.
Новая ситуация возникает с квадратом иной величины. Так, если посмотреть квадрат 1 и полоску перехода к квадрату 5 × 5, то окажется, что здесь нет симметрии четырех равных по количеству цифр последовательностей, есть две неравные последовательности, так как одна заполняет углы и содержит 8 цифр, а вторая остальные.
5 × 5 = 25 – 1 = 24 – 8 = 16. Назовем их последовательности 1 и 2. Причем обе являются симметричными относительно всего квадрата. Напомним, что в прошлом случае симметрия выступала только при сопоставлении всех четырех последовательностей.
Первую последовательность обозначим звездочками, а вторую – возрастающим рядом цифр, чтобы показать последовательность хода коня при ее формировании.
Очевидно, что таким же образом будет заполняться полоса, переводящая квадрат 5 × 5 в квадрат 9 × 9 и т. д., причем алгоритм в свернутом виде дан уже в исходном квадрате 1.
Далее квадрат 7 × 7 (табл. № 18). Здесь при первичном заполнении получаем две последовательности 1‑32 и 01–08. Последовательность, состоящую из 32 цифр, можно искусственно разделить, что даст возвращение к структуре языка и пониманию вариативности решений. Кроме того, последовательности замкнуты, поэтому они могут переходить друг в друга, продолжая одна другую в разных вариантах, с получением разных вариантов магических квадратов.
Таблица № 17
| * | * | |||
| * | ||||
| * | * | |||
| * | ||||
| * | * |
Таблица № 18
Квадрат 8 × 8 (табл. № 19). Здесь вновь вариант заполнения четырьмя последовательностями, которые равны по числу цифр, но разные, двух типов по структуре. Две из них заходят в углы, а две нет. Вновь можно построить одну непрерывную последовательность, однако разделение ее на части позволяет понять причину многообразия.
Таблица № 19.
Итак, разбиение последовательности помогает понять разнородность единого метода заполнения магического квадрата ходом коня. На самом деле, алгоритм показывает, что за единой последовательностью стоят совершенно разные структуры, количество решений и типы симметрии. Это язык понимания строения решения, в то же время это язык, позволяющий конструировать решения для всех квадратов. Этот язык может по аналогии с магическими квадратами, рассматриваемыми выше, быть дополнен универсальными таблицами полных вариантов решений.
Таким образом, решение частного варианта магического квадрат позволяет найти решение общей задачи. Хотя остается вопрос: если задача частная, то и решение может быть неполным, а к тому же не совпадать для задачи частной и общей. На такой вопрос можно дать ответ только на описываемом языке высокого уровня.
Философский контекст в задаче магического квадрата опирается на систематику и порождение языков нового уровня сложности. Переход к новому языку порождает шаг мышления более крупный, чем в предыдущем языке. Однако необходимо понимание во владении языком и процедуры проверки выводов языка на языках низшего уровня. Таким образом, даже не давая решения, язык высшего уровня порождает гипотезы, которые становятся полноценными теориями и теоремами и которые на низшем языке не могут быть сформулированы вообще или не могут быть сформулированы простым образом.
Данная задача дает простор для поиска. Так, можно спровоцировать детей на такое решение. Полосы могут быть размером не две, а три ячейки, их тоже четыре типа, и тоже имеется решение. Полосы можно комбинировать, тогда из квадрата 4 × 4 с полосой 2 получаем квадрат 8 × 8, а полосой 3 получаем квадрат 10 × 10.
Еще одно фундаментальное изменение состоит в том, что можно изменить правила хода коня. Та же самая задача модернизируется так. Ход коня – это три в одну сторону и одну с поворотом на 90 градусов, а если ход коня – четыре в одном и одна после поворота? Пять и одна, шесть и одна. Тогда и одна – одна, или ход по диагонали – разновидность хода коня. Еще одно семейство коней – это ход на три вперед и два после поворота и т. д.