Выборка из нормального распределения. Представление Хи-квадрат распределения с помощью нормальных. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора. Лемма Фишера.
Пусть 
выборка из N(0, 1).
Введем некоторые распределения , используемые в матстатистике.
Рассмотрим случайную величину 
. Говорят что 
имеет 
-распределение(или распределение Пирсона ) с n степенями свободы. Плотность распределения величины имеет вид
где 
- гамма – функция Эйлера, определяемая равенством
Семейство -распределение является подмножеством двухпараметрического семейства гамма-распределений Г(b,p), p,b 
0, с плотностями
При b=1/2, p=n/2, n 
N. Известное свойство , что сумма двух независимых гамма-распределений Г(b,p) и Г(b,q) снова имеет гамма-распределение Г(b,p+q) , здесь следует непосредственно из представления в виде суммы квадратов незвис нормальных величин.
Пусть сл. в. Y независима от . Рассмотрим случайную вел-ну 
Распределение величины Tn называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Соответствующая плотность распределения имеет вид
Отметим , что плотность распределения Стьюдента симметрична относительно нуля.
Распределения Фишера-Снедекора F(n1,n2) определяется как распределение сл. в. 
независимы и распределены как 
и 
. Плотность распределения Фишера- Снедекора представляется в виде
Лемма Фишера.
Пусть X1,X2,…Xn 
- выборка из нормального распределения N(a, σ2). Тогда
1) 
;
2) 
и S2– независимы
3) 
имеет 
-распределение с (n-1) степенью свободы;
4) 
имеет распределение Стьюдента с (n-1)степенью свободы.
Постановка задачи доверительного оценивания. Общий метод построения доверительных интервалов. Примеры построения доверительных интервалов для параметров нормального закона (случай одной и двух выборок) (Л-П)
До сих пор мы говорили о точечном оценивании параметров. Будем строить множество: пусть 
- статистический эксперимент. Доверительной оценкой параметра 
уровня значимости 
(или 1ровня доверия 
) называется статистика Ĥ: 
, где С –некоторая совокупность подмножества Ĥ,
; мн-во, построенное по результатам наблюдений, кот. с вероятностью 
накрывает истинное значение параметра
Замечание: необходимо накладывать какое-либо ограничение на множество С. Пусть 
(одномерный параметр), С – совокупность интервалов
. В этом случае доверительная оценка 
- доверительный интервал.
Альтернативное определение: Доверительный интервал уровня значимости наз-ся пара статистик T1, T2 : 
; 
.
Основные методы построения ДИ. Пусть удается найти функцию 
а) Распределение 
не зависит от параметра
б) 
,тогда 
- интервал
в) Распределение 
- известно, т.е. можно найти 
Примеры построения доверительных интервалов для параметров нормального закона :
Пример: Нормальное распределение. Пусть х1…хn – выборка из N(a, 
) распределения. Построить ДИ для а, если 
- неизв. Выберем , не зависящую от второго параметра.
Решение: 
. По лемме Фишера имеет распределение Стьюдента: 
. Выберем 
: 
(используя таблицу, 
Находим 
. Т.о. 
S-выб.дисперсия. ДИ 
2. Строим ДИ для (а – неизв); по п.3 лемме Фишера: 
. Очевидно, что 
, 
может быть выбраны неоднозначно. Решение Х2 {рисунок}
Длина ДИ характеризует точность оценки. В случае Стьюдента построенный доверительный интервал кратчайший. Для 
- более сложная задача, поэтому находят ДИ из условий 
; 
. Решение задачи 
. {Если нет априорной информации, нужно брать 2-сторонний интервал, если есть – односторонний}
Пусть 
- независимые. - неизвестна (мешающий параметр). Построим ДИ для a-b. Согласно лемме Фишера:
Т.о. 
По лемме Фишера п.3 
ДИ: 
для параметра (a-b) {считается что задано}
Построим ДИ.
4. 
ДИ для 
П.3 леммы Фишера : 
; По замечанию к лемме Фишера получим 
- распределение Снедекора
- ДИ для 
Примечание к примеру 3: мешающий параметр - одномерный, если 
, т.е. могут быть разные, т.е. мешающий – двумерный, то задача не решена, проблема Беренса-Фишера
{рисунок}
Доверительная оценка Ĥ называется состоятельной, если она стягивается в точку.
Если Ĥ- ДИ, то состоятельность равносильна тому, что 
.
В примерах 1-4 ДИ – состоятельные (т.к. в нормальных законах)
Пример5: Пусть x1…xn – выборка из 
; 
- функция распределения х1. Пусть 
при фиксиров. х – монотонная функция от . Тогда в качестве 
. Отметим 
; 
, где 
- функция распределения 
Асимптотические доверительные интервалы. Построение асимптотических доверительных интервалов на базе асимптотически нормальной оценки параметра. Построение доверительных интервалов на базе ОМП в регулярном случае. Пример (Распределение Бернулли).
Определение: Послед-ть областей
- ас.д.область уровня α для θ,
если 
Если 
- ас.д.и.
Замечание:
если 
- ас.д.и.ур.α
Способ построения:
Найти 
, т.ч.
а) 
б) 
Построение ас.д.и. на базе ас.норм.оценки
Пусть δ – ас.норм.оценки, т.е. 
т.е. 
Пусть 
Если удастся выразить θ из 
то находим д.и. в противном случае
Пусть δк(θ) – состоят. оценка для δ(θ)
(δ(θ) ¹0) тогда
Пример: (распр. Бернулли)
x1…x2 – выборка из Bi (1,θ)
-------------------------------------------------------------------------
Интегральная теорема Муавра-Лапласа(ИТМЛ):
-------------------------------------------------------------------------
Итак 
Находим х2. Решаем:
АДИ (асимпт, доверит, интервал)
б) Вернемся
- сост. оценка для 
Пусть 
Решаем 
в) 
тогда АДИ 