Корреляционно-регрессивный анализ (КРА).
Одной из задач статистики является изучение существующих взаимосвязей между различными социально-экономическими явлениями и процессами.
При изучении этих взаимосвязей выявляются причинно-следственные отношения между явлениями или их признаками, при которых изменение причины приводит к изменению следствия. Поскольку на одно и то же социально-экономическое явление могут оказывать влияние различные факторы, то необходимо определить воздействие главных факторов, абстрагируясь от второстепенных. Признаки по их влиянию для изучения взаимосвязей подразделяются на факторные и результативные.Признаки, которые оказывают влияние на другие, связанные с ними признаки, называются факторными [х]. Признаки, которые изменяются под воздействием факторных, называются результативные [yx].
Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи между изучаемыми признаками, а корреляционный анализ состоит в определении тесноты связи между этими признаками. Различают виды зависимости между признаками: функциональную и стохастическую. При функциональной зависимости каждому значению факторного признака соответствует только одно значение результативного признака. При стохастической зависимости каждому значению факторного признака могут соответствовать 2 и более значений результативного признака. Частным случаем стохастической зависимости является корреляционная связь.
Различают виды корреляционной зависимости между признаками:
· парная корреляция, при которой изучается зависимость одного результативного признака от одного факторного признака или связь между двумя факторными признаками
· частная корреляция, при которой изучается зависимость одного результативного признака от одного факторного признака, при фиксированном значении других факторных признаков
· множественная корреляция, при которой изучается зависимость одного результативного признака от двух и более факторных признаков
Связи между признаками классифицируются по аналитическому выражению, направлению и степени тесноты. По аналитическому выражению различают линейную и нелинейную связь. Связь линейная. Если он может быть выражена с помощью линейной функции 
, в противном случае связь считается нелинейной. По направлению связи различают прямую и обратную связь. Прямая связь, при которой с увеличением (уменьшением) значений факторного признака, значения результативного признака увеличиваются (уменьшаются). В случае обратной связи между признаками, значение результативного признака изменяется под воздействием факторного в противоположном направлении. Степень тесноты связи между признаками изучается с помощью величины корреляционного отношения – [ 
]. 
, где 
- межгрупповая дисперсия, 
- общая дисперсия; 
; =1 – сильная связь между признаками; =0 – отсутствие связи.
В случае линейной зависимости между двумя признаками вместо корреляционного отношения вычисляют линейный коэффициент корреляции [r].
; 
; где 
- средняя величина факторного признака; 
- средняя величина результативного признака; 
(n – число пар значений); 
и 
- среднее квадратическое отклонение в ряду факторного и результативного признаков; b – параметр линейной функции, выражающий зависимость результативного признака от факторного.
: 
- прямая связь между признаками; 
- обратная связь. В зависимости от величины линейного коэффициента корреляции различают следующие виды связи между признаками:
| значение | комментарий |
| связь отсутствует |
| связь слабая |
| связь умеренная |
| связь сильная |
Параметр “b” – показывает на сколько, в среднем, изменяется значение результативного признака при изменении факторного признака на 1 единицу.
Пример: По имеющимся данным составим уравнение линейной функции, выражающее зависимость среднемесячной заработной платы от уровня производительности труда в 5 отраслях промышленности в РФ за 2002 год:
| Отрасль промышленности | Уровень производительности труда (млн. руб. на 1 работника), Х | Размер среднемесячной зарплаты (тыс. руб.), Y | Х2 | ХY | Y2 |
| Электроэнергетика | 0.916 | 7,49 | 0,839 | 6,86 | 56,1001 |
| Топливная | 1,450 | 12,70 | 2,1025 | 18,415 | 161,29 |
| Черная металлургия | 0,684 | 5,92 | 0,468 | 4,049 | 35,0464 |
| Цветная металлургия | 0,780 | 9,48 | 0,6084 | 7,3944 | 89,8704 |
| Машиностроение | 0,322 | 4,18 | 0,104 | 1,346 | 17,4724 |
| Итого: | 4,152 | 39,77 | 4,1219 | 38,0644 | 359,7793 |
Для определения параметров a и b линейной функции, составляют систему уравнений:
; 
; a=1,74; b=7,48; 
; y=1,74+7,48х; 
; 
; 
; r=0,93 – связь очень сильная и прямая.
В некоторых случаях для определения степени тесноты связи между двумя признаками вычисляют ранговые коэффициенты связи Спирмена и Кендалла. Ранжирование – процедура упорядочения объектов изучения в порядке возрастания или убывания количественных значений. Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена):
, где 
- квадрат разности рангов; n – число наблюдений (число пар рангов).
Пример:
| Отрасли промышленности | X | Y | Rx | Px | di |
|
| Электроэнергетика | 0,916 | 7,49 | ||||
| Топливная | 1,450 | 12,70 | ||||
| Черная М. | 0,684 | 5,92 | ||||
| Цветная М. | 0,780 | 9,48 | -1 | |||
| Машиностроение | 0,322 | 4,18 | ||||
| Итого: |
1) Значения факторного признака ранжируют и ранги по Х записывают строго в порядке возрастания количественных значений.
2) Значения результативного признака записывают строго в порядке возрастания.
3) Находят разность рангов: 
.
4) Полученные разности возводят в квадрат и рассчитывают их сумму.
Лекция №13.
Для вычисления коэффициента Кендалла значения факторного признака предварительно ранжируют, то есть ранги по Х записывают строго в порядке возрастания количественных значений.
| Отрасли промышленности | X | Y | Rx | Px | P | Q |
| Машиностроение | 0,322 | 4,18 | ||||
| Черная М. | 0,684 | 5,92 | ||||
| Цветная М. | 0,780 | 9,48 | ||||
| Электроэнергетика | 0,916 | 7,49 | ||||
| Топливная | 1,450 | 12,70 | ||||
| Итого: | +9 | -1 |
1) Для каждого ранга по Y находят общее количество следующих за ним рангов, больших по значению, чем данный ранг. Общее количество таких случаев учитывают со знаком “+” и обозначают P.
2) Для каждого ранга по Y определяют количество следующих за ним рангов, меньших по значению, чем данный ранг. Общее количество таких случаев учитывают со знаком “-” и обозначают Q.
3) Рассчитывают S=P+Q=9+(-1)=8
4) Коэффициент Кенделла вычисляют по формуле:
Коэффициент Кенделла может принимать значения от -1 до +1 и чем ближе к 
, тем сильнее связь между признаками.
В некоторых случаях для определения направления связи между двумя признаками вычисляют коэффициент Фехнера. Этот коэффициент основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от своей средней величины. Коэффициент Фехнера вычисляют по формуле:
; где сумма С – общее число совпадений знаков отклонений, сумма Н – общее число несовпадений знаков отклонений.
| Отрасли промышленности | X | Y | 
| 
|
| Электроэнергетика | 0,916 | 7,49 | + | - |
| Топливная | 1,450 | 12,70 | + | + |
| Черная М. | 0,684 | 5,92 | - | - |
| Цветная М. | 0,780 | 9,48 | - | + |
| Машиностроение | 0,322 | 4,18 | - | - |
1) Вычисляют среднюю величину факторного признака: 
2) Определяют знаки отклонений индивидуальных значений факторного признака от средней величины.
3) Рассчитывают среднюю величину результативного признака: 
.
4) Находят знаки отклонений индивидуальных значений результативного признака от средней величины:
Вывод: связь прямая, о тесноте связи коэффициент не говорит.
Для определения степени тесноты связи между тремя ранжированными признаками вычисляют коэффициент конкордации.Он рассчитывается по формуле:
, где m – число ранжированных признаков; n – число ранжированных единиц наблюдения.
| Отрасли промышленности | X1 | X2 | X3 | R1 | R2 | R3 | 
| 
|
| Электроэнергетика | 7,49 | |||||||
| Топливная | 12,70 | |||||||
| Черная М. | 5,92 | |||||||
| Цветная М. | 9,48 | |||||||
| Машиностроение | 4,18 | |||||||
| Итог: |
X1 – число работников (тыс. чел.); X2 – объем промышленных продаж (млрд. руб.); X3 – среднемесячная зарплата.
1) Значения всех признаков ранжируем и ранги устанавливаем строго в порядке возрастания количественных значений.
2) По каждой строке определяют сумму рангов. По этому столбцу вычисляется итоговая строка.
3) Вычисляют 
.
4) По каждой строке находят квадраты отклонений сумм рангов и величин Т. По этому же столбцу рассчитаем итоговую строку, которую обозначим через S. 
Коэффициент конкордации может принимать значения от 0 до 1 и чем ближе к 1, тем сильнее связь между признаками.