Примеры решения задач по электричеству и магнетизму
Задача 1. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.
| Дано: | 
| 
Рис.3
|
| Найти: | Е,φ |
Решение: Напряженность поля в точке А (рис. 3) по принципу суперпозиции равна:
По теореме косинусов:
Напряженность поля точечного заряда:
По условию 
, следовательно, 
. Тогда:
Но 
поэтому:
и результирующая напряженность равна:
Обозначим АВ = h. Тогда 
По теореме Пифагора:
Потенциал φ результирующего поля в точке А равен:
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:
Но по условию 
. Тогда 
, следовательно:
Проверка размерности:
Ответ: Е = 480 В/м; φ = -40 В.
Задача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30º к направлению поля и начинает двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В = 
.
Найти радиус витка и шаг спирали.
| Дано: | 
| 
Рис.4
|
| Найти: | R, h. |
Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона:
А = ΔW. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому ΔW = W. Следовательно:
отсюда 
. (1)
Разложим скорость электрона, влетающего в магнитное поле, на две составляющие: 
- составляющая скорости, направленная вдоль силовых линий поля и 
- составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:
Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к 
, представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:
Центростремительное ускорение:
где R - радиус окружности.
По второму закону Ньютона: F = ma.
Тогда: 
Отсюда: 
(2)
Период обращения равен:
Так как скорость частицы имеет составляющую 
, то траектория частицы представляет собой винтовую линию.
Шаг винтовой линии равен:
(3)
Проверка размерности расчетных формул (2) и (3).
Размерность произведения [q]·[B] найдем из выражения для силы Лоренца:
По второму закону Ньютона: F = ma, т.е.
Тогда: 
Следовательно, 
Подставим численные значения в (1), (2) и (3).
Ответ: R = 1 см, h = 11 см.
Задача 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд потечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мТл.
| Дано: | 
|
| Найти: | q |
Решение: По определению сила тока равна производной от заряда по времени:
Отсюда заряд, который потечет по проводнику, определяется равенством:
(1)
По закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна:
(2)
где ε - ЭДС источника, R - сопротивление цепи.
Ток в кольце появляется благодаря ЭДС индукции. Поэтому 
. ЭДС индукции найдем по закону Фарадея-Ленца:
(3)
где 
- скорость изменения магнитного потока.
Подставим (3) в (2):
(4)
Подставим (4) в (1):
(5)
Проинтегрируем (5), получим:
где 
- магнитный поток, пронизывающий кольцо после поворота на угол180?;
- магнитный поток до поворота.
и вычисляются по формулам:
где В - индукция магнитного поля,
- площадь кольца,
α - угол между нормалью к площади кольца и линиями индукции.
Тогда: 
Проверка размерности:
Так как 
Размерность индуктивности найдем из закона 
По закону Ома: 
Тогда: 
Вычислим q. Учтем, что до поворота нормаль к площади кольца параллельна вектору . Поэтому α1 = 0. После поворота нормаль противоположно направлена вектору . Поэтому α2 = 180°. Тогда:
Ответ: q = 3,14 мКл.
Колебания. Волны