По выполнению контрольной работы №1 1 страница

Комплексные числа.

Корень уравнения х2+1=0 или называется мнимой единицей и обозначается буквой i.

Таким образом, символ i удовлетворяет условию .

Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где а и b – действительные числа, а i – мнимая единица.

Число а называется действительной частью комплексного числа, а число bi – мнимой частью.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Комплексные числа и называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению; деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению.

Правила вычитания и деления комплексных чисел и определяются формулами


где

Возведение комплексного числа в степень производится по формулам возведения двучлена в степень, но при этом надо учитывать, что:

, , , , , , ,

Например,

Пример 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел и .

Решение: Сумму находим формальным сложением двучленов и :

.

Произведение находим формальным перемножением двучленов и с последующей заменой на -1:

.

Пример 2. Даны комплексные числа и . Найти разность и частное .

Решение: Разность находим формальным вычитанием двучленов и :

.

Чтобы найти частное , умножим числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное знаменателю :

Пример 3. Наитии комплексное число .

Решение: Выполнив в знаменателе дроби возведение в степень, получим:

.

Умножив числитель и знаменатель полученной дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е на , получим:

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексные числа, как и действительные, допускают простую интерпретацию, если вместо координатной прямой использовать координатную плоскость.

Комплексное число изображается на координатной плоскости точкой М( ) или вектором , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой М(рис.1).

Рис 1 Рис. 2 Рис 3.

Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной осью, а ось ординат– мнимой осью.

Модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля числа используются обозначения , или

На основании теоремы Пифагора (рис. 1) получается формула:

.

Например, комплексное число имеет модуль, равный 10, так как:

.

Аргументом комплексного числа называется величина угла φ между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу (рис. 1).

Для аргумента числа используются обозначения φ, агg z или агg .

Аргумент комплексного числа в отличие от модуля определяется неоднозначно.

Так, аргументами числа 5 являются следующие углы , , , и вообще каждый из углов ; аргументом числа – следующие углы: , , (рис 2) и вообще каждый из углов .

Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на слагаемое, кратное 2 .

Аргумент комплексного числа можно находить так:

a) найти острый угол ;

b) найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в I четверти ; во II четверти ; в III четверти ; в IV четверти (или ).

Пример 4. Найти аргумент комплексного числа .

Решение. Находим угол . Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в IV координатной четверти (рис. 3), поэтому аргументами числа являются каждый из углов , Z.

Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).

Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть дано комплексное число . Из (см. рис. 1) можно выразить действительные числа и через модуль и аргумент числа следующим образом: , . Таким образом, комплексное число можно записать в виде

,

где – модуль комплексного числа, а – один из его аргументов. Представление комплексного числа в указанном виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Аргумент комплексного числа можно находить из системы

Пример 5. Записать число в тригонометрической форме.

Решение. Находим модуль

.

Находим угол

.

Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в III координатной четверти (рис. 4), поэтому одним из аргументов является . Следовательно,

.

Рис 4. Для того чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к алгебраической, достаточно найти действительные числа и по формулам , .

Пример 6. Записать число в алгебраической форме.

Решение. Сначала найдем и : , .

Тогда , . Следовательно, .

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Если

и , то

,

.

Если , то

,

,

где – арифметический корень, .

Пример 7. Даны комплексные числа и . Найти их произведение и частное . Ответ записать в алгебраической форме.

Решение. Применяя правила умножения и деления комплексных чисел, имеем

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Находим

.

Пример 9. Вычислить .

Решение. Запишем число в тригонометрической форме. Находим

,

,

или .

Тогда и, значит,

Пример 10. Вычислить . Ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах.

Решение. Запишем число в тригонометрической форме: . Следовательно,

где При получим:

Показательная форма комплексного числа. Рассматривая функцию для комплексного переменного, Эйлер установил замечательное соотношение которое называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует, что каждое комплексное число можно записать в форме которая называется показательной формой записи.

Над комплексными числами, заданными в показательной форме, удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение корня:

Пример 11. Представить число в алгебраической форме.

Решение. По условию, откуда

Значит,

Пример 12. Выполнить действия и записать ответ в тригонометрической и показательной формах

Решение. Сначала выполним действия:

Теперь запишем число в тригонометрической и показательной формах, для чего найдем его модуль и аргумент

Тогда

 

Производная и ее приложения.

. Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Пусть функция определена в промежутке . Возьмем из этого промежутка фиксированное значение аргумента и придадим ему приращение так, чтобы новое значение аргумента принадлежало этому промежутку. Тогда значение функции заменится новым значением , т.е. функция получит приращение .

Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю, т.е.

называется производной функции по аргументу в точке .

Производная обозначается одним из символов: а ее значение при обозначается

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функция имеет производную в точке , то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке промежутка , то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Производная сложной функции. Пусть , где является не независимой переменной, а функцией независимой переменной . Таким образом, .

В этом случае функция называется сложной функцией , а переменная – промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной : .

Эта теорема распространяется и на сложные функции, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.

Например, если т.е. , то .

Формулы дифференцирования. Во всех приведенных ниже формулах буквами и обозначены дифференцируемые функции независимой переменной : , а буквами –постоянные:

1. 2. 3. 4. 5.   6.

Остальные формулы записаны как для функций независимой переменной, так и для сложных функций:

7. 7а.
8. 8а.
9. 9а.
10. 10а.
11. 11а.
12. 12а.
13. 13а.
14. 14а.
15. 15а.
16. 16а.
17. 17а. где

При решении приведенных ниже примеров сделаны подробные записи. Однако следует научиться дифференцировать без промежуточных записей.