По выполнению контрольной работы №1 4 страница
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем 
и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем 
и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 3. Найти интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями 
и найдем неопределенный интеграл от степени:
.
Пример 4. Найти интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем 
, правилами действия над степенями с одинаковыми основаниями 
, правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеет:
.
Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.
Пример 5. Найти интеграл 
.
Решение: Раскроем скобки по формуле 
и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функции заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:
Пример 6. Найти интеграл 
.
Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой 
и свойствами неопределенного интеграла:
.
Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.
Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
- часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
- найти дифференциал от обеих частей замены;
3. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получится табличный интеграл);
4. найти полученный табличный интеграл;
5. сделать обратную замену.
Пример 7. Найти интеграл 
.
Решение: Произведем подстановку 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем:
.
Пример 8. Найти интеграл 
.
Решение: Сначала положим 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем:
.
Пример 9. Найти интеграл 
.
Решение: Положим 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл 
.
Решение: Положим 
, тогда 
, откуда 
. Далее получаем:
.
В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы ( 
– постоянные):
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
| 5.  .
6.  .
7.  .
8. 
|
Так, при нахождении можно использовать формулу , где 
. Тогда 
.
Определенный интеграл.
Пусть функция 
определена на отрезке 
. Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и 
. Разобьем этот отрезок на n частей точками 
. На каждом из частичных отрезков 
возьмем произвольную точку сi и составим сумму:
,
где 
. Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .
Рис. 15
| Геометрически (рис. 15) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием  и высотой  , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.
Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».
|
Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления 
, ни от того, как выбираются промежуточные точки 
.
Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .
Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом 
и читается «интеграл от a до b от функции по dx» или, короче, «интеграл от a до b от dx».
По определению,
.
Число а называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок – отрезком интегрирования.
Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл 
численно равен площади S криволинейной трапеции аABb, ограниченной графиком функции 
, осью абсцисс и прямыми 
и 
(рис. 15), т.е. 
. В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.
1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
.
2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
.
3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
, где 
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен той же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:
.
Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служат формулой Ньютона – Лейбница
,
т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение: Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:
.
Пример 3. Вычислить интеграл 
.
Решение: Интеграл от разности функции заменим разностью интегралов от каждой функции:
.
Пример 4. Вычислить интеграл 
.
Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:
.
Приложение определенного интеграла. Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.
Рис. 16
| 
Рис. 17
|
Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 16), ограниченной графиком непрерывных функций (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых и , вычисляется по формуле:
 , где 
| (1) |
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой 
, осью Ох и прямыми 
и 
(рис. 17).
Решение: Применяя формулу (1), получаем:
, 
кв. ед.
Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
, прямыми 
и осью абсцисс (рис. 18).
Рис. 18
| 
Рис. 19
|
Решение: Применяя формулу (1), получаем:
; 
кв. ед.
Площадь фигуры ABCD (рис. 19), ограниченной графиками непрерывных функций 
, (где ) и отрезками прямых 
, вычисляется по формуле:
, где 
| (2) |
Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой 
и осью Ох (рис. 20).
Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций 
(ось Ох). Для этого решим систему
.
Имеем 
.
Теперь найдем искомую площадь по формуле (2): 
кв.ед.
Рис. 20
| 
Рис. 21
|
Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
(рис. 21).
Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций . Для этого решим систему
Имеем: 
, 
. Искомую площадь вычисляем по формуле (2), при 
:
кв. ед.
Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами 
(рис. 22).
Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций . Для этого решим систему:
.
Имеем: 
Рис. 22
| 
Рис. 23
|
Искомую площадь вычисляем по формуле (2):
.
кв. ед.
Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой , (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых 
(рис. 23), вычисляется по формуле:
| (3) |
Пример 15. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой 
, прямой 
и осью Ох (рис. 24)
Рис. 24
| 
Рис. 25
|
Решение: Применяя формулу (3), находим:
;
куб. ед.
Пример 16. Вычислить объем шара радиуса R (рис. 25).
Решение: Шар образован вращением вокруг оси Ох круга, ограниченного окружностью 
с центром в начале координат и радиусом R. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдем по формуле (3) половину искомого объема:
; 
куб. ед.
Следовательно, 
куб. ед.
Пример 17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды 
(рис. 26).
Решение: Применяя формулу (3), находим:
;
куб. ед.
Рис. 26
| 
Рис. 27
|
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой 
(где 
), отрезком ab оси Оу и отрезками прямых 
(рис. 27), вычисляется по формуле:
| (4) |
Пример 18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой 
(рис. 28).
Решение: Применяя формулу (4), находим:
; 
куб. ед.
Рис.28
| 
Рис. 29
|
Пример 19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
(рис. 29).
Решение: Объем полученного тела (оно называется параболоидом) вычислим по формуле(4):
; 
куб. ед.
Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость 
есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени 
, вычисляется по формуле:
| (5) |
Пример 20. Тело движется прямолинейно со скоростью 
. Вычислить путь, пройденный телом за 10 с.
Решение: Применяя формулу (5), находим:
.
Пример 21. Скорость прямолинейно движущегося тела равна 
. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.