Парные матричные игры с нулевой суммой

Теория игр занимается разработкой различного рода рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации.

Игрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры — это значе­ние некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру назы­вают игрой с нулевой суммой. Если в игре участвуют два игрока, то ее называют парной.

Пусть игроки А и В располагают конечным числом возможных действий — чистых стратегий. Обозначим их соответственно и . Игрок А может выбрать любую чистую стратегию , в ответ на которую игрок В может выбрать любую свою чистую стратегию . Если игра состоит только из личных ходов, то выбор пары стратегий однозначно определяет резуль­тат — выигрыш игрока А или проигрыш игрока В. Если известны значения выигрыша для каждой пары чистых стратегий, то можно составить матрицу выигрышей игрока А (проигрышей игрока В) (табл. 4.1). Эту матрицу называют также платежной.

В табл. 4.1 приведены числа — минимально возможный выигрыш игрока А, применяющего стратегию и — максимально возможный проигрыш игрока В, если он пользуется стратегией .

 


Таблица 4.1

 

  …
… … … … … … …
…  

 

Число называют нижней чистой ценой игры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию — максиминной. Число называют верхней чистой ценой игры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию — мини­максной. Ясно, что максимин не превосходит минимакса, т. е. .

Если , то говорят, что игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры . Пару чистых стратегий , соответствующих и , называют седловой точкой матричной игры, а элемент , платежной матрицы, стоящий на пересечении -ой строки и -го столбца, — седловым элементом платежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своей строке и максималь­ным в своем столбце, т. е. . Стратегии и , образую­щие седловую точку, являются оптимальными. Тройку называют решением игры.

Пример. Каждый из игроков А и В записывает одно из чисел 1, 4, 6 или 9, затем они одновременно показывают написанное. Если оба числа оказались оди­наковой четности, то игрок А выигрывает столько очков, какова сумма этих чисел, если разной четности — вы­игрывает игрок В. Составить платежную матрицу, найти нижнюю и верхнюю чистые цены игры, максиминную и минимаксную стратегии игроков.

 

Решение. Чистыми стратегиями игрока А будут: — записать число 1, — число 4, — число 6, — число 9. У игрока В чистыми будут аналогичные страте­гии (табл. 4.2).

 


Таблица 4.2

 

  (1) (4) (6) (9)
(1) (4) (6) (9) –5 –7 –7
–5 –13 –13
–7 –15 –15
–13 –15 –15
 

 

Элемент =2, так как в ситуации оба игрока записывают нечетное число 1 и выигрыш игрока А равен 1+1=2. Элемент = –5, так как в ситуации игрок А записывает число 1, а игрок В — число 4, т. е. числа разной четности, поэтому выигрыш игрока В равен 5, тогда как выигрыш игрока А составит –5. Ана­логичным образом вычисляются остальные элементы платежной матрицы. После определения и замечаем, что нижняя чистая цена игры не равна верхней чистой цене игры , поэтому данная игра не имеет седловой точки. Максиминной для игрока А будет чистая стратегия . Пользуясь ею, игрок А «выиграет» не менее –7 (проиграет не более 7). Минимаксными для игрока В будут чистые стратегии и , при которых он проиграет не более 10.

Статистические игры.