Справочный материал к заданию

 

 

Скалярное произведение векторов

 

Скалярным произведение двух векторов и называется число
· = ( , ), равное произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними:

 

· = ( , ) = · · cos ( , ^ )

 

Скалярное произведение · называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Из определения скалярного произведения следует, что = и = = .

Угол между векторами и вычисляется по формуле

 

.

 

Основные свойства скалярного произведения

 

.

 

 

Геометрический смысл скалярного произведения

 

Скалярное произведение векторов можно выразить через проекцию одного вектора-сомножителя на другой по формуле:

 

( , ) = · = .

 

Если векторы и заданы своими координатами:

 

= {ax, ay, az}, = {bx, by, bz},

 

то:

 

· = ax · bx + ay · by + az · bz;

 

= ;

 

.

Векторное произведение векторов

 

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор × = [ , ], определяемый тремя условиями:

1) модуль вектора × равен: · · sin ( , ^ );

2) вектор × перпендикулярен к каждому из векторов и ;

3) векторы , и × , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, т.е. из конца вектора × кратчайший поворот от вектора к вектору виден совершающимся против часовой стрелки.

 

Основные свойства векторного произведения

. .

 

. || .

 

Геометрический смысл векторного произведения

Модуль векторного произведения векторов и равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах: · · sin( , ^ ).

Если векторы и заданы своими координатами: = {ax, ay, az},
= {bx, by, bz}, то векторное произведение × определяется формулой:

× =

= (aybz – byaz) – (axbz –azbx) + (axby – bxay) .

Длина высоты параллелограмма, построенного на векторах и , опущенной на основание

 

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется число ( , , ), равное векторному произведению [ , ], умноженному скалярно на вектор . ( , , ) = ( × ) · .

Основные свойства смешанного произведения

10. Смешанное произведение векторов не меняется при циклической перестановке его сомножителей: ( , , )=( , , )= ( , , ).

20. Если тройка , , правая, то ( , , ) > 0; если тройка , , левая, то ( , , ) < 0.

30. , , компланарны

Геометрический смысл смешанного произведения

Модуль смешанного произведения векторов , , равен объему параллепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах.

Если векторы , , заданы своими координатами: = {ax, ay, az}, = , = , то смешанное произведение
( , , ) определяется формулой:

 

( , , ) =

 

= ax(bycz – cybz) – ay(bxcz – bzcx) + az(bxcy – cxby).

 

 

Плоскость в пространстве

Любой ненулевой вектор , перпендикулярный к данной плоскости П, называется ее нормальным вектором.

В декартовых координатах каждая плоскость П определяется уравнением первой степени, и каждое уравнение первой степени определяет плоскость. Общее уравнение плоскости:

 

Ах + By + Cz + D = 0, (1)

 

при этом вектор = {A, B, C} является нормальным вектором этой плоскости, .

Уравнение плоскости, проходящий через точку М0 (x0, y0, z0) перпендикулярно вектору = {A, B, C}:

 

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

 

Уравнение плоскости в отрезках:

 

,

 

где а, b, c — абcцисса, ордината и аппликата соответственно точек пересечения плоскости с координатными осями.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(x1, y1, z1),
М2(x2, y2, z2), М3(x3, y3, z3):

 

. (2)

 

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(x1, y1, z1)
и М2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости A(x – x0)+B(y – y0) + C(z – z0) = 0:

 

.

 

Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) перпендикулярно к двум непараллельным плоскостям A1x+B1y+C1z+ D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

 

= 0.

 

Расстояние от точки М(x*, y*, z*) до плоскости Ах + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле:

 

. (3)

Прямая в пространстве

 

Ненулевой вектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку М0(x0, y0, z0) с заданным направляющим вектором = {m, n, p}:

 

. (4)

 

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2):

 

. (5)

 

 

Углы между прямой и плоскостью, между двумя прямыми

 

Углом между прямой l и плоскостью П называется угол
(0 £ £ ), образованный прямой l и ее проекцией l¢ на эту плоскость.

Зная нормальный вектор = {A, B, C} плоскости П и направляющий вектор = {m, n, p} прямой l, угол j можно определить из формулы:

. (6)

 

Угол между двумя прямыми в пространстве – это угол между направляющими векторами этих прямых.