Справочный материал к заданию

 

Основные правила вычисления пределов:

 

1. .

 

2. .

 

3. , если .

 

4. и

 

где С = const.

 

5. .

 

6. .

 

Если х < х0 и х → х0, то употребляют запись х → х0 – 0; если х > х0
и х → х0 — запись х → х0 + 0. Числа f(x0 – 0) и f(х0 + 0) называются соответственно левым и правым пределом функции f(x) в точке х0.

 

Функция f(x) называется бесконечно малой при х → х0,
если .

Бесконечно малые функции f(x) и g(x) называются эквивалентными, если (обозначается f(x) ~ g(x)).

При х → 0 эквивалентными являются следующие функции:

 

sin x ~ x, tg x ~ x, ex – 1 ~ х, (1 + х)a – 1 ~ a · x,  
arcsin x ~ x, arctg x ~ x, ln(1 + x) ~ x, ax – 1 ~ х · ln a, 1 – сos x ~ .

 

Приведенный ряд остается справедливым, если вместо аргумента x подставить функцию при .

 

 

Рекомендации к выполнению задания

 

1. При вычислении пределов придерживаться следующего плана:

1) Выполнить непосредственную подстановку значения аргумента в выражение функции. Результатом этой подстановки может стать один из вариантов:

а) получен искомый предел;

б) предела функции не существует;

в) получена неопределенность.

При получении предела в пункте а) следует учесть, что

 

(+¥) + (+¥) = +¥ (+¥) · (+¥) = +¥ (+¥) · (–¥) = –¥
(–¥) + (–¥) = –¥ (–¥) · (–¥) = +¥  
     
С + (¥) = ¥ С · ¥ = ¥ (с учетом знака)
С – (¥) = –¥  

В пункте в) неопределенность может иметь вид: ; ;
(¥ – ¥); (0 · ¥); (1¥); (¥0); (00).

2) В случае получения неопределенности следует провести тождественные преобразования функции, приводящие к избавлению от неопределенности. При этом используют методы:

а) выделение критических множителей;

б) применение специальных пределов;

в) использование эквивалентных бесконечно малых.

Следует отметить, что неопределенность вида (0 · ¥) с помощью тождественных преобразований приводится к виду или
, а неопределенность (¥ – ¥) приводится к виду (0 · ¥) вынесением общего множителя ¥–¥ = ¥ · ¥ или «раскрывается» приведением к общему знаменателю и использованию сопряженных выражений. Неопределенности (00), (¥0), (1¥) решают с помощью формулы (здесь принимает вид 0 · ¥).

3) При решении пределов следует знать значения:

 

     

 

 

пределы функций sin x, cos x, tg x и ctg х при х ® ± ¥ не существуют; так же

 

если а > 1

 

и

 

если 0 < a <1;

 

использовать 1-й и 2-й замечательные пределы и а также равенства .

 

 

Пример решения задачи

 

Найти пределы:

 

1) 2) .

 

1) Так как при подстановке х = ¥ в выражении функции получаем неопределенность , то, используя метод выделения критического множителя (им является «старшая» степень аргумента), получим:

 

(применяем правила 1) и 3).

 

2) При подставке х = 1 получим неопределенность . Решаем выделением критического множителя. Для того разложим на множители числитель и знаменатель. (В данном случае использование тождества а2 – b2 = (a – b)(a + b) и корней квадратного трехчлена.)

 

 

Условия задачи 3.

 

а) ; б) ;

 

а) ; б) ;

 

а) ; б) ;

 

 

а) ; б) ;

а) ; б) ;

 

а) ; б) ;

 

а) ; б) ;

a) б)

 

а) ; б) ;

 

а) ; б) .

 

Задача 4. Найти производную функции.