Методичні рекомендації до розділу курсу теоретичної механіки

МЕХАНІКО-МАШИНОБУДІВНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра будівельної, теоретичної та прикладної механіки

 

 

|вживання| |розв'язання| |задач| ЗАСТОСУВАННЯ|вживання| РІВНЯНЬ ЛАГРАНЖА II РОДА ДО РІШЕННЯ|розв'язання| ЗАДАЧ|задач| ДИНАМІКИ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

Методичні рекомендації до розділу курсу теоретичної механіки

«Аналітична динаміка»

для студентів всіх форм навчання|вчення|

 

|вчення|

 

 

ДНІПРОПЕТРОВСЬК

НГУ

 

ЗМІСТ|вміст|

 

ВСТУП……|вступ|.............................................................................................................3

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ АНАЛІТИЧНОЇ МЕХАНІКИ.................................... 4

1.1. Поняття зв'язків…. ................................................................................4

1.2. Узагальнені координати. Число ступенів свободи.....................................8

1.3. Узагальнені сили.........................................................................................12

1.3.1. Випадок потенційних сил.......................................................................13

1 3.2. Приклади|зразки| отримання|підрахунку| узагальнених сил .............................................14

2. ЗАСТОСУВАННЯ|вживання| РІВНЯНЬ ЛАГРАНЖА II РОДА ДЛЯ СКЛАДАННЯ

РІВНЯНЬ РУХУ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ.............................................30

2.1. Виведення рівнянь Лагранжа II роду.......................................................30

2.2. Рівняння Лагранжа II роду при дії на систему потенційних сил…...…35

2.3. Приклади|зразки| складання рівнянь руху механічних систем

за допомогою рівнянь Лагранжа...............................................................36

 

 

ВСТУП|вступ|

 

Рівняння Лагранжа* II роду - це найбільш зручний і досконалий|довершений| спосіб складання рівнянь руху механічних систем. Кількість таких рівнянь мінімальна і дорівнює числу ступенів свободи механічної| системи. Для складання рівнянь руху використовуються вирази кінетичній і потенційній енергій механічної системи. Процедура складання рівнянь руху має загальний|спільний| і формалізований характер|вдачу|.

Навчальни цілі даній праці|посібнику|, яка розрахункована| на початківця, - детально на простих прикладах розглянути такі розділи аналітичної динаміки, як:|розглядувати| класіфікація| зв'язків, вибір узагальнених координат, обчислення|підрахунку| узагальнених сил,|зразки| складання рівнянь руху механічних систем за допомогою ривнянь Лагранжа.

 

* Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) народився в Туріні (Франція) в сім'ї банківського чиновника. У 17-річному віці був призначений викладачем математики в Королівській артилерійській школі в Туріні. У 1757 р. разом зі своїм учнем заснував академію в Туріні, яка спочатку носила характер|вдачу| приватного наукового суспільства|товариства|. У цій академії Лагранж був головою фізико-математичної секції. У 1759 р. був виданий 1 том праць Академії, в якому було надруковано багато праць 23-річного вченого по варіаційному численню|обчисленню| і його зв'язку з|із| механікою. Після|потім| ознайомлення з|із| цими працями Ейлер в листі до Лагранжа написав так: « Ваше вирішення ізопериметричних проблем бездоганне, і я радий, що тема, якій я давно займаюся, доведена вами до близького кінця.» У травні 1759 р. Лагранж був вибраний членом Берлінської Академії наук. У 1766 р. Лагранж переїздить|переїжджає| до Берліна, де отримує|одержує| посаду голови Берлінської академії наук, в якій він залишався беззмінно впродовж|упродовж| 20 років. Це був дуже плідний період життя Лагранжа. Він майже щомісячно публікував нову наукову роботу. У 1772 р Лагранж був вибраний членом академії наук в Парижі, куди переїхав в 1787 р. і почав|став| викладати у вищих учбових закладах. У 1788 р. вийшов його класичний трактат «Аналітична механіка», в якому Лагранж розширив основи статики і механіки. Великі його заслуги в теорії приватних диференціальних рівнянь, теорії чисел, алгебре, математичному аналізу, математичній картографії, астрономії і ін.

Помер|вмер| Лагранж в 1813 р. після|потім| тривалої хвороби, в результаті|унаслідок| повного|цілковитого| виснаження сил. Видатний|визначний| вчений|учений| Лаплас в мові|промові| над могилою Лагранжа дав таку характеристику діяльності покійного: « Він був серед тих, хто|КТО| найефективнішим чином розсунув межі наших знань. Ньютон і Лагранж в найвищому ступені|мірі| володіли щасливим мистецтвом відкриття|відчиняти| нових даних, що є істотою знань...» [1].

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ АНАЛІТИЧНОЇ МЕХАНІКИ

 

1.1 . Поняття зв'язків

 

Механічною системою називається сукупність матері­альних| точок|точок| і твердих тіл, в якій положення|становище| і рух кожної| з|із| них визначається рухом і положенням|становищем| решти точок|точок|.

Механічні системи бувають вільні і зв'язані. Вільна механічна система складається з точок|точок|, кожна з яких може здійснювати|скоювати| будь-який рух (за наявності відповідних сил), прикладом|зразком| може служити сонячна система. Будь-яка з складових її пла­нет| може змінити|зраджувати| свій рух за наявності відповідних сил, наприклад, сили тяжіння комети, що з'явилася|появлялася| з|із| космосу.

Набагато частіше ми маємо справу із зв'язаними системами, в яких рух різних елементів обмежений. Обмеження, накладені на рух елементів механічної системи, звуться "зв'язками". Зв'язки фізично реалізуються за допомогою рухомих і нерухомих твердих тіл, а математично описується рівняннями або нерівностями. Якщо аналітичним виразом зв'язку є рівняння, то вона називається такою, що утримує. Такий зв'язок, перешкоджаючи деякому переміщенню точки системи, перешкоджає також її переміщенню в протилежному напрямку. Якщо ж аналітичним виразом зв'язку є нерівність, то вона називається такою, що не утримує. Такий зв'язок, перешкоджаючи деякому переміщення точки, не перешкоджає протилежному її переміщенню.

а б

Рис. 1.1

 

На рис 1.1, а точки А і В сполучені стрижнем. При русі системи в плоскості Оху цей зв'язок описується рівнянням

. (1.1)

Відстань АВ залишається незмінною, вона не може ні збільшуватися, ні зменшуватися. Цей зв'язок є таким, що утримує.

На рис. 1.1, б точки А і В1сполучені гнучкою ниткою. Якщо нитка натягнута (АВ1 ), то має місце рівняння (1.1). Якщо ж не натягнута (АВ2 ), то

. (1.2)

Цей зв'язок не утримує. Він перешкоджає видаленню точок А і В, але не перешкоджає їх зближенню.

Надалі ми розглядатимемо|розглядуватимемо| тільки|лише| утримуючі зв'язки. Це виправдовується тим, що в більшості випадків активні сили як би "зачіняють|зачиняють|" відкриту|відчиняти| сторону неутримуючого зв'язку і дозволяє розглядати|розглядувати| її як ту, що утримує. Так, наприклад, рейки для вагону у вертикальному напрямі|направленні|, хоча і є неутримуючим зв'язком (вагон можліво підняти краном), проте|тим не менше|, унаслідок|внаслідок| значної ваги вагону при його звичайному|звичному| русі можна не враховувати відкриту|відчиняти| сторону цього зв'язку.

Зв'язкі залежно від їх характеру можна розділити на стаціонарні (їх ще називають склерономні) і нестаціонарні (реономні). У рівняння стаціонарного зв'язку час t явно не входить (це рівняння має вигляд ), в рівняння ж нестаціонарного зв'язку t входить явно, рівняння такого зв'язку має вигляд . Нестаціонарні зв'язки реалізуються за допомогою рухомих твердих тіл. Наприклад, якщо матеріальна точка може переміщатися по горизонтальній платформі, що рівномірно піднімається із швидкістю V (рис. 1.2), то рівняння цього зв'язку має вигляд (x і у можуть тут змінюватися довільним чином).

В протилежність цьому стаціонарний зв'язок завжди може бути реалізован за допомогою нерухомої поверхні.

Розглянемо, наприклад, математичний маятник (рис. 1.3). Вантаж М рухається по колу . Рух вантажу не зміниться, якщо ми рухому нитку замінимо гладкою трубкою радіусом l (рис. 1.3, б).  

Рис.1.2

 

 

 

До цих пір ми розглядали зв'язки, в рівняння яких входили тільки координати і час. Такі зв'язки, що накладають обмеження тільки на положення (конфігурацію) механічної системи, називаються геометричними. Крім того, зустрічаються зв'язки, що накладають обмеження на швидкості різних точок системи, Такі зв'язки звуться кінематичними. Вони описуються рівняннями вигляду:

або .

 

Прикладом може служити колесо, що котиться без ковзання по плоскості (рис. 1.4). Положення його в плоскості визначається трьома параметрами: координатами центру x і у ікутом повороту φ. Ці параметри не є незалежними.

Рівняння зв'язку мають вигляд|вид|:

, (1.3)

або (1.4)

де вираз|вираженням| (1.3) є рівняння геометричного зв'язку, а (1.4) - рівняння кінематичного зв'язку.

В даному випадку диференціальне рівняння кінематичного зв'язку можливо проінтегрувати, після чого воно набуває вигляду x=rφ+С (постійна С залежить від положення початку координат). Між геометричними і інтегрованими кінематичними зв'язками немає принципової відмінності. Вони можуть бути описані кінцевим (не диференціальним) рівнянням і тому об'єднується в одну категорію - голономні зв'язки.

Часто зустрічається кінематичні зв'язки, аналітичним виразом яких є диференціальне рівняння, що неможливо проінтегрувати. Ці зв'язки називаються неголономними.

Прикладом неголономної системи можуть служити сани (ковзани)

(рис. 1.5). Конструкція полозов їх така, що допускає поздовжнє (по напряму АВ) ковзання і обертання навколо С. Забороненим є бічне ковзання (по напряму Сn ). Ця умова полягає в тому, що проекція швидкості точки С на напрям Сn

має дорівнювати нулю. Отже, кінематичний зв'язок, не дозволяючий Vn, має вигляд

 

 

Рис.1.5

 

. (1.5)

Це рівняння неможливо проінтегрувати (зв'язок неголономний). Покажемо це. Припустимо|передбачати| притилежне|противне|, а саме, що (1.5) допускає ін­теграл|

. (1.6)

Тоді, диференціюючи (1.6), ми повинні отримати|одержувати| тотожно (1.5), тобто|цебто|

.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових похідних, отримаємо|одержуватимемо|:

; ; .

Продиференціювавши перше з них по φ, а третє - по x отримаємо:

; ,

тобто .

Таким чином, припущення про інтегрованість (1.5) привело нас до суперечності з теоремою про рівність змішаних похідних. Отже, це рівняння є аналітичним виразом неголономного зв'язку.