Приклади|зразки| обчислення|підрахунку| узагальнених сил

Отримані|одержувати| вирази для узагальнених сил (1.17) рідко використовуються для обчислення|підрахунку| значень узагальнених сил. Вони носять більше теоретичний характер|вдачу|, а практично діють|надходять| таким чином. Згідно (1.18) вираз|вираження| елементарної роботи активних сил в узагальнених координатах має вигляд|вид|

.

Надамо системі таке можливе переміщення, при якому зміниться тільки одна яка-небудь узагальнена координата, наприклад q₁, а решта координат залишається незмінними, тобто

а δq₂ =0, …,δq_S =0,

отримаємо, що сума можливих робіт всіх сил на цьому переміщенні , звідки знаходимо

. (1.23)

Тобто узагальнена сила Q₁дорівнюватиме коефіцієнту при у виразі можливої роботи всіх активних сил тільки на цьому можливому переміщенні. Аналогічно визначають решту всіх узагальнених сил.

Часто при вирішенні задач|задач| користуються декартовою системою координат, що буває зручним для систем з|із| одним ступенем свободи. Якщо врахувати, що

, (1.24)

то вираз|вираження| елементарної роботи всіх активних сил, прикладених до механічної| системі має вигляд|вид|

. (1.25)

Підстановкою (1.24) в (1.17) отримуємо вираз узагальненої сили Qj

через проекції активних, сил на осі координат

, (1.26)

де (n- число точок в системі)

( S-| число ступенів свободи).

Якщо всі сили, що діють на механічну систему, потенційні, то після вибору узагальнених координат обчислюємо потенційну енергію системи П,і користуємось виразами (1.22) для знаходження значення узагальнених сил. Цей спосіб визначення узагальнених сил у разі систем з декількома ступенямі свободи ефективніше за попередні способи. Проте він придатний лише, коли всі активні сили потенційні.

Розглянемо застосування описаних способів визначення узагальнених сил на прикладах.

Приклад 1.1. Визначити узагальнену силу математичного маятника вагою Р, якщо довжина нитки рівна l (рис. 1.8).

Рух маятника плоский. Рівняння зв'язку (у декартових координатах)

. (1.27)

Незалежною може бути тільки|лише| одна коорди­ната| - система має одну ступінь свободи. Єдиною активною силою є|з'являється| вага маятника. Оскільки|тому що| нитка нерозтяжна і при русі маятника натягнута, то вона є|з'являється| ідеальним зв'язком.

а) Візьмемо як узагальнену координату, що визначає положення маятника, q₁=y (позитивний напрям показаний на рис. 1.8).

Дамо маятнику можливе переміщення (воно визначається накладеним зв'язком). Складемо вираз елементарної роботи сили Р підставляємо в (1.25),

.

Узагальненою силою, відповідній узагальненій координаті q₁=y, буде

Q₁=P. (1.28)

По розмірності лінійній узагальненій координаті відповідає узагальнена сила, що має розмірність сили [H].

б) Приймемо як узагальнену координату, що визначає положення маятника, координату x (q₁=x). Складемо вираз елементарної роботи сили P. Пам'ятаємо, що , тоді .

Узагальненою силою, що відповідає координаті q₁=x,буде коефіцієнт, який стоїть при варіації узагальненої координати δx у виразі можливої роботи. Тобто, необхідно перетворити вираз можливої роботи так, щоб в нім варіація координати у була виражена через варіацію координати x. На переміщення маятника накладене обмеження, що виражається математично рівнянням зв'язку (1.27), з якого

.

Тоді

І .

Отже, узагальнена сила, що відповідає узагальненій коор­динаті| q₁=x, рівна

. (1.29)

Знову лінійній узагальненій координаті відповідає узагальнена си­ла|, що має розмірність сили [H].

Узагальнену силу (1.29) ми могли б отримати|одержувати| відразу, скориставшись виразом|вираженням| (1.26)

,

де

Отже .

Знак мінус в отриманому виразі пояснюється не тільки правилами диференціювання, а ще і тим (фізично), що при варіюванні координат (у в прикладі а і x в прикладі б) ми повинні розглядати прирости цих координат, тобто можливі переміщення, представлені на мал. 1.8 положеннями 1 і 2, відповідно. У першому випадку маятник опускається і робота сили P позитивна, в другому - маятник піднімається і робота сили P негативна. Але ми отримуємо це, використовуючи тільки рівняння зв'язку (1.27).

в) Приймемо як узагальнену координату, що визначає положення маятника, дугову координату S=0₁M від 0₁до M. Дамо маятнику можливе переміщення . Складемо вираз елементарної роботи сили P, скориставшись залежністю (1.19)

,

Обобщенней силою Q₁,відповідноїузагальненій координаті, буде

, (1.30)

що має розмірність сили.

г) Приймаємо як узагальнену координату кут повороту φ, що утворюється ниткою маятника з вертикаллю. Дамо маятнику можливе переміщення δφ у бік зростання кута φ. У такому разі на кутовому переміщенні навколо нерухомої точки O роботу здійснюватиме момент сили Р щодо цієї опори (знак "-" оскільки позитивним прийнятий кут φ повороту проти ходу годинникової стрілки). Тоді

.

Узагальнена сила Q₁, відповідна узагальненій координаті q₁=φ, рівна

(1.31)

і має розмірність моменту сили [Hм].

Сила тяжіння Р, що діє на маятник, потенційна. Покажемо тепер спосіб визначення узагальнених сил як узяту із знаком мінус приватну похідну від потенційної енергії системи по відповідній узагальненій координаті.

У прикладі а). Нагадаємо, що потенційна енергія дорівнює запасу роботи сили Р , що діє, на переміщенні маятника з даного положення в нульове, тобто П=-Рy (знак "-" оскільки при переміщенні вгору з положення, визначуваного координатою у, в положення y=0 сила P, направлена вниз, зробить негативну роботу).

За узагальнену координату прийнята q₁=y

.

У прикладі б) на переміщенні з даного положення, що характеризується координатою x, в нульове (x=0), сила тяжіння Р зробить (рис. 1.8) позитивну роботу на вертикальному переміщенні рівному l - у тобто

.

.

У прикладі|зразку| в) на переміщенні із|із| проміжного| положення|становища|, що позначається|

координатою S, в нульове S=0, робота сили тяжіння позитивна на вертикальному переміщенні, рівному l – у .

.

.

У прикладі г) на переміщенні з проміжного положення, яке визначається координатою φ, в нульове φ=0, робота сили тяжіння позитивна на вертикальному переміщенні рівному l - у.

,

.

Як видно|показний| з|із| цих прикладів|зразків| від вибору узагальненої координати залежить| вид виразів для узагальненої сили. При вдалому|успішному| виборі | узагальненої координати узагальнені сили менш громіздкі, що є|з'являється| істотним|суттєвим| в складних задачах|задачах|.

Приклад 1.2. Подвійний математичний маятник (рис. 1.9) складається з двох невагомих стрижнів завдовжки l₁і l₂, на кінцях яких укріплені матеріальні точки M₁ і М₂ вагою P₁=m₁g і P₂=m₂g, відповідно. Перший стрижень може обертатися навколо нерухомої горизонтальної осі 0, а другий - навколо горизонтальної осі, пов'язаної з першою невагомим шарниром. Ввести узагальнені координати і обчислити узагальнені сили.

При такій конструкції вся система рухається у вертикальній плоскості, яку ми приймемо за плоскість xy (вісь z направимо перпендикулярно площині креслення). Положення подвійного математичного маятника цілком визначається двома кутами φ₁і φ₂відхилення стрижнів від вертикалі. Система має два ступеня свободи. Це можна показати таким чином. У плоскості xy положення точок

M₁і М₂визначається чотирма координатами x₁, y₁, x₂, y₂. На положення точок M₁і М₂накладені зв'язки у вигляді невагомих стрижнів

довжинами l₁і l₂ . Рівнянь зв'язків два:

1) ,

2) ,

отже, незалежних координат точок дві. Що зручніше прийняти за незалежні узагальнені координати не x₁і x₂, або x₁і y₁, або y₂і y₁, або x₂і y₂, або φ₁і φ₂ ми вже знаємо з досвіду вирішення попереднього прикладу.

Обчислимо узагальнені сили Q₁і Q₂,соответствующие узагальненим координатам q₁= φ₁і q₂= φ₂трьома способами.

Перший спосіб. Скористаємося формулою (1.26). Активними силами є сили ваги вантажів P₁і P₂. Оскільки зв'язок здійснюється за допомогою невагомих стрижнів, їх реакції, як реакції ідеальних зв'язків, не враховуємо. Узагальнені сили у відповідності з виразом (1.26) визначаться:

,

.

Перепишемо в розгорненому вигляді (замінимо q₁u q₂на φ₁u φ₂)

,(1.32)

.

При прийнятому позначенні координатних осей

(1.32, а)

Підставляючи значення проекції сил і координат точок їх застосування в (1.32), отримаємо|одержуватимемо|:

(1.33)

Другий спосіб. Складемо вираз можливих робіт і визначимо узагальнену силу як коефіцієнт при варіації відповідної узагальненої координати у виразі можливої роботи.

Обчислимо спочатку узагальнену силу Q₂. Повідомимо системі таке можливе переміщення, при якому кут залишається незмінним, а кут отримує приріст (позитивне відповідно до прийнятої системи звіту) (мал. 1.10). При такому переміщенні роботу проводитиме тільки одна сила P₂ (точка прикладення сили P₁ залишилася в колишньому положенні).

Можливу роботу dA2 сили Р2 на можливому переміщенні обчислимо як роботу сили, прикладеної до твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Момент сили P2 щодо осі обертання другого стрижня рівний . тому Коефіцієнт при варіації δφ2дорівнює узагальненій силі Q2 , .

Роботу сили P1 обчислимо за тим же правилом: момент сили P1 щодо осі обертання першого стрижня рівний . Отже, робота цієї сили на можливому переміщенні , рівна

Перейдемо тепер до обчислення узагальненої сили Q₁. Для цього повідомимо системі можливе переміщення, при якому кут залишається незмінним, а кут отримує приріст (рис. 1.11).

Переміщення точок М₁ і М₂ однакові, оскількі при незміненому вуглі φ₂ другий стрижень переміщується поступально. Тому можлива робота сили P₂

визначатиметься аналогічним виразом (потрібно замінити m₁ на m₂), тобто рівна

Сума робіт сил P₁і P₂на цьому можливому переміщенні матиме вигляд

.

Коефіцієнт при варіації дорівнює узагальненій силі ,

.

Третій спосіб.Всі активні сили P₁і P₂, що діють на систему, потенційні. Скористаємося формулами (1.22) для обчислення узагальнених сил.

Знайдемо потенційну енергію системи, обчисливши її як роботу сил P₁і P₂ при переміщенні системи з даного положення в нульове , тобто у вертикальне (рис. 1.12).

Робота сили тяжіння P₁на переміщенні Δ₁ рівна

.

Потенційна енергія системи

Узагальнені сили

Приклад 1.3.Вантаж вагою P,підвішений на вертикальній пружині, жорсткість якої С (рис. 1.13). Ввести узагальнені координати і обчислити узагальнені сили.

Вантаж здійснює поступальний прямолінійний рух. Його положення буде повністю визначено однією координатою x - система має одну ступінь свободи. Покажемо, що в таких системах зручніше розташовувати початок відліку зсувів (початок 0 осі x) в положенні статичної рівноваги вантажу (рис. 1.13, б).

Обчислимо узагальнену силу, відповідну узагальненій координаті q₁ = x, початок якій розташуємо в положенні статичної рівноваги вантажу, двома способами.

Перший спосіб. Складемо вираз можливої роботи сил, що діють на вантаж. У проміжному довільному положенні, визначуваному координатою x (рис. 1.13, в), на вантаж діють сила пружності F_УП і сила тяжіння Р.

На можливому переміщенні dx (при прийнятому позитивному напрямі осі x вниз) сума можливих робіт сил рівна

|із| ,

де .

З умови статичної рівноваги вантажу|тягаря| (рис.1.13, б) маємо

,

тоді .

Узагальнена сила, як коефіцієнт при варіації узагальненої координати у виразі|вираженні| можливої роботи, рівна

. (1.34)

Другий спосіб. Всі сили F і Р, що діють на вантаж, потенційні. Скористаємося формулою (1.22)

.

Необхідно правильно скласти вираз потенційній енергії системи. Знайдемо її як роботу сил Fуп і P на переміщенні системи з даного проміжного положення (x) в нульове (x=0).

При переміщенні вгору в нульове положення робота постійної сили тяжіння негативна і дорівнює А(Р)=- Px, роботу сил пружності обчислимо як інтеграл

.

(знак мінус під інтегралом враховує напрям сили пружності протилежний прийнятому позитивному напряму осі x, тобто F_УПі dx направлені в протилежні сторони). Потенційна енергія системи

,(1.35)

оскільки з умови статичної рівноваги вантажу .

Узагальнена сила .

Розташуємо тепер початок O осі x₁в положенні, відповідному нижньому кінцю В недеформованої пружини (рис. 1.14).

Отримаємо вираз узагальненої сили, відповідній узагальненій координаті q₁ = x₁, також двома способами.

Перший спосіб. Складемо вираз

На можливому переміщенні dx сума робіт сил рівна

.

Узагальнена сила в даному випадку дорівнює

. (1.36)

Другий спосіб. Складемо вираз потенційній енергії системи, як запас роботи сил F_УП і P на переміщенні з даного положення (x₁ ≠ 0) в нульове (x₁ = 0). Робота сили тяжіння негативна і рівна –Px₁. Робота сили пружності визначиться виразом .

Потенційна енергія системи

. (1.37)

Узагальнена сила .

Зіставляючи отримані вирази для узагальнених сил (1.34) і (1.36), бачимо, що простіше виходить вираз для Q₁ у разі вибору початку відліку узагальненої координати в положенні статичної рівноваги вантажу. При цьому виходить простий вираз для потенційної енергії системи (1.35), як половина добутку жорсткості пружини на квадрат її деформації (порівняй з виразом (1.37)).

Приклад 1.4. Вибрати узагальнені координати і скласти вирази узагальнених сил для механічної системи, представленої на рис. 1.15. Задані ваги вантажів P₁= m₁g, P₂= m₂g, P₃ = m₃g і жорсткості пружин С₁, С₂, С₃.

Система складається з трьох тіл, які можна розглядати|розглядувати| як матеріальні точки|точки|, оскільки вони здійснюють|скоюють| поступальний рух. Система має три ступеня свободи, оскільки кожне з трьох тіл можна зміщувати, залишаючи нерухомими два інших тіла.

Маючи досвід попереднього прикладу, розташуємо початки узагальнених координат q₁, q₂, q₃в положеннях статичної рівноваги вантажів (рис. 1.15, а). Сили, що діють на систему, потенційні. Обчислимо узагальнені сили двома способами.

Для виведення рівняння руху і узагальнених сил необхідно розглядати деяке проміжне положення системи x₁ ≠ 0, x₂ ≠ 0, x₃ ≠ 0 (рис. 1.15, б)

Перший спосіб.Складемо вирази можливих робіт всіх сил, що діють на систему, і визначимо узагальнені сили, як коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат у виразах можливих робіт.

У положення|становища| статичної рівноваги системи (рис. 1.15, а) кожна з пружин натягнута статичним навантаженням сил тяжіння нижче розташованих| вантажів|тягарі|

, , . (1.38)

У проміжному положенні|становищі| системи (рис. 1,15, б), сили пружності пружин дорівнюють:

, , . (1.39)

Обчислимо спочатку узагальнену силу Q₃. Повідомимо системі таке можливе переміщення (рис. 1.15, в), при якому вантажі 1 і 2 залишаються нерухомими, а третій змішається на dx₃ (позитивний напрям зсуву вантажу вниз, як прийнято для координати x₃). На такому переміщенні роботу здійснюють тільки сили P₃і Fуп₃. Можлива робота на можливому переміщенні , дорівнює

.

Коефіцієнт при варіації дорівнює узагальненій силі Q₃, тобто

. (1.40)

Обчислимо узагальнену силу Q₂. Розглянемо таке можливе переміщення, при якому координата x₂отримає приріст δx₂, а решта координат не зміниться (рис. 1.15, г). На такому переміщенні роботу проводитимуть сили F_УП2, F_УП3і P₂. Можлива робота δA₂на можливому переміщенні δx₁=0, , δx₃=0 буде рівна

.

Після|потім| скорочень в квадратних дужках, отримуємо|одержуємо|, що

.(1.41)

Для обчислення узагальненої сили Q₁ розглянемо можливе переміщення системи , δx₂=0 , δx₃=0 (рис. 1.15, д).

Можлива робота визначатиметься виразом

,

з урахуванням|з врахуванням| співвідношень (1.38), (1.39), отримуємо|одержуємо|

.

Узагальнена сила Q₁є коефіцієнт при варіації узагальненої координати δx₁у виразі можливої роботи

. (1.42)

Другий спосіб. Складемо вираз потенційній енергії системи. Пам'ятаємо досвід складання аналогічного виразу в прикладі 3, у разі вибору початку відліку узагальнених координат в положенні статичної рівноваги вантажів, сили тяжіння вантажів не входять у вираз потенційній енергії і остання визначається як половина добутку жорсткості пружин на квадрат їх деформації

. (1.43)

Узагальнені сили отримаємо|одержуватимемо| за допомогою формул (1.22)

, , .

,

,

.

Як бачімо, другий спосіб значно компактніше|, на практиці саме він використовується для отримання|здобуття| виразів узагальнених сил для подібних систем.

Приклад|зразок| 111 1.5.

Для кривошипно-шатунового механізму, представленого на рис. 1.16 вибрати узагальнені координати і отримати вираз відповідних узагальнених сил. Задані: довжини кривошипа ОА=r і шатуна АВ=l, сила P, що діє на повзун, момент корисного опору M, прикладений до кривошипа. На одній осі 0 з кривошипом закріплений маховик, вага якого G. Власною вагою кривошипа і шатуна нехтувати.

Визначимо спочатку число ступенів свободи механізму і оберем| узагальнені координати.

Всі ланки механізму розташовані в одній плоскості (х0у) і сполучені трьома шарнірами 0, А, В, положення яких в плоскості визначається шістьма координатами . На механізм накладені геометричні зв'язки, рівняння яких

(1.44)

На шість координат накладено п'ять зв'язків, отже, одна координата незалежна, а координати решти шарнірів можуть бути виражені через прийняту незалежну (узагальнену) координату за допомогою рівнянь зв'язків (1.44). Система має одну ступень свободи.

Наприклад, приймемо за узагальнену координату q=x_A, тоді положення механізму визначитися через цю координату так

(1.45)

Як узагальнену координату можна прийняти також =q, або x_B = q, або j =q.

Зупинимося на останньому варіанті, приймемо q₁=φ, кут, що визначає положення кривошипа і всього кривошипно-шатунового механізму (позитивний напрям відліку кута показаний на рис. 1.16). Положення шарнірів 0, А, В визначиться через узагальнену координату q₁=φ наступними рівняннями зв'язків:

, , , , ,

. (1.46)

Отримаємо вираз узагальненої сили, що відповідає узагальненій координаті q₁=φ.

Для механізму в цьому випадку застосовується спосіб складання виразу роботи всіх сил, що діють, на можливому переміщенні. Зі всіх активних сил, що діють на механізм, і реакцій зв'язків роботу здійснюють тільки сила Р і момент М, оскільки реакція опори 0 (X₀, Y₀) і активна сила тяжіння маховика G прикладені до нерухомої точки 0, реакція тієї в’язі, що направляла повзуна N нормальна до напряму його переміщення і робота її дорівнює нулю. Вираз можливої роботи має вигляд

. (1.47)

Знак (-) тут необхідно поставити тому, що і момент M і сила P направлені протилежно приростам координат і . Далі потрібно всі можливі переміщення в (1.47) виразити за допомогою рівнянь зв'язків (1.46) через варіацію узагальненої координати. З урахуванням (1.46) отримуємо

.

Підставляємо вираз для δx_Bв (1.47)

.

Отже, узагальнена сила Q₁, відповідна узагальненій координаті q=j, дорівнює в даному прикладі

. (1.48)

Якщо визначати узагальнену силу, відповідну узагальненій координаті q=x_A, то у рівнянні (1.47) необхідно виразити і через , скористівши рівняння зв'язків (1.45)

,

.

Отримання останнего співвідношення пояснюється на рис.1.17 (показанний приріст координати xA і відповідне переміщення ланки 0А в положення 0А1) ,

;

, звідки

.

Підставляючи вирази для δx_Ві δφ в (1.47), отримаємо

.

Отже, узагальнена сила, відповідна узагальненій координаті q=x_A, визначається так

. (1.49)

• ⇐ Назад
• 1
• 234
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• 13
• 14
• 15
• 16
• Далее ⇒