Порядок проведения статистических измерений

Метрология

Задача 3

Тема: Статистическая обработка результатов многократных измерений

Теоретическая часть

Статистическая обработкарезультатов многократныхизмерений основывается на использовании большого объёма практически полученной апостериорной информации.

Цель статистической обработки результатов измерений: получить более достоверную информацию о том, в каких границах можно ожидать появление измеряемой случайной физической величины (например: измеряемого размера).

При этом решаются три задачи:

оценивание области неопределённости исходных экспериментальных данных;

нахождение более точного усреднённого результата измерений;

оценивание погрешности этого усреднённого результата, то есть нахождение более узкой области неопределённости числового появления размера.

Определения

Статистическая обработка результатов измерений – заключается в определении границ доверительного интервала в размерном ряду, в которых может появиться ожидаемый размер объекта измерения.

Апостериорная информация – та, которая получена путём проведения практических измерений.

Доверительный интервал – границы числового ряда значений случайной величины, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание этой случайной величины. Для закона нормального распределения случайных величин эти границы расположены симметрично их среднему арифметическому значению (например, измеряемый диаметр деталей круглой формы: его размер – это случайная величина).

Доверительная вероятность – вероятность, соответствующая этому доверительному интервалу.

Число степеней свободы – для закона нормального распределения случайных величин это – число интервалов в диапазоне рассеивания размеров минус 3 (три вычисляемых с помощью этих расчётов величины).

Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.

Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси размеров, делящие диапазон рассеивания на равные части.

Случайная величина – которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее (например, измеряемый диаметр одинаковых деталей круглой формы).

Дискретная величина – случайная величина, которая может принять только раздельное, отделенное от соседних величин из размерного ряда значение величины (например, возможное число очков при бросании во время игры в кости).

Действительная величина – числовой результат измерения.

Выборка – некоторое небольшое количество измерений, проделанное для того чтобы по их результатам судить о более полном диапазоне рассеивания измеренной величины.

Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.

Порядок проведения статистических измерений

В некотором количестве одинаковых измерений одной и той же физической величины размерные значения несколько отличаются друг от друга .

Если количество измерений в выборке невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса их значений необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Статистическая обработка результатов измерений производится следующим образом.

1) Располагают полученные в процессе N измерений действительные значения x_i в порядке возрастания их величины и тем самым получают ранжированный ряд случайных дискретных величин: x₁; x₂ …x_N.

2) Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной x_{i max} и минимальной x_{i min} величинами действительных значений измерений:

R = x_{i max} – x_{i min} .

3) Полученное значение диапазона рассеивания разбивают на k интервалов (рекомендуется 7 – 12 интервалов. При малых выборках число интервалов равно числу групп одинаковых значений измерений). Задавшись числом интервалов, рассчитывают дискретный шаг интервалов по формуле:

p = R/k .

4) Для каждого интервала подсчитывают число измерений n_j, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала, а также частость числа измерений n_j /(N – 1) в данном интервале.

Результаты измерений и расчётов заносят в таблицу 1.

Таблица 1 – Пример записи значений случайной величины при N=9 и k=5

Номер измерения
xi(итое)
(житое)
nj(житое)
nj /(N – 1)	1/8	2/8	3/8	1/8	2/8

где x_i –значение i-того измерения;

– среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:

.

5) По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины. Масштаб гистограммы выбирают таким, чтобы её высота относилась к основанию примерно как 5:8.

6) Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:

.

7) Рассеяние значений случайных величин в выборке из N измерений относительно эмпирического (опытного, практического) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:

= ,

8) По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:

F(x) ,

где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:

;

t_δ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90% доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).

Таблица 2 – Критерий Стьюдента при доверительной вероятности β=0,9 и данном числе степеней свободы К

9) Сравнивают границы доверительного интервала с допуском на размер (если он задан в условии задачи) и делают вывод о годности всей партии деталей.

10) Ответом на решение задачи является доверительный интервал с указанием величин его меньшей и большей границ.

Условие задачи

В партии одинаковых деталей у каждой из них измеряется один и тот же размер. Так как количество деталей в выборке для измерений невелико, то для определения доверительного интервала более полного разброса значений размера необходимо провести статистическую обработку результатов измерений.

Изготовлена партия круглых стержней и из неё сделана выборка в количестве N штук. Измерен диаметр каждого стержня d₁, d₂…d_N. Для определения годности деталей при изготовлении большей по количеству партии необходимо построить гистограмму и провести статистическую обработку результатов измерений.

Исходные данные:N=8 штук; d 0,15мм – номинальный диаметр стержня и допуск на изготовление (по чертежу).

Требуется:

произвести и занести измеренные значения случайных величин в таблицу;

построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;

определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней;

сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.

Варианты номинальных диаметров стержней и результатов измерений выборки из партии выбираются по последней цифре учебного шифра из таблицы 3.

Таблица 3 – Варианты номинальных диаметров стержней деталей и результатов измерений выборки из партии (выбираются по последней цифре учебного шифра), мм

Таблица 3 (продолжение) - Варианты номинальных диаметров стержней деталей и результатов измерений выборки из партии (выбираются по последней цифре учебного шифра), мм

Пример решения задачи 3

Условие задачи

По чертежу изготовлена партия круглых стержней, имеющих диаметр 12 1,5мм, и из неё сделана выборка в количестве 5 штук. Измерен диаметр каждого стержня: 10,5мм – 1шт.; 11мм – 1шт.; 11,5 – 1шт.; 12мм – 1шт.; 13мм – 1шт.

Определить годность всей партии деталей по заданной выборке, для чего сделать следующее:

построить гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения размеров стержней в партии;

провести статистическую обработку результатов измерений: определить доверительный интервал значений измерений диаметров стержней и сделать заключение о годности всей партии стержней путём сравнения границ доверительного интервала с величиной поля допуска номинального размера.

Исходные данные:N=5 штук; номинальный диаметр d=12мм; IT_q=3 мм; es=1,5мм; ei=-1,5мм; d_min=d₁=10,5мм; d₂=11мм; d₃=11,5мм; d₄=12мм; d_max=d₅=13мм.

Решение

1. Располагаем полученные в процессе 5 измерений действительные значения d_i в порядке возрастания их величины в ранжированный ряд случайных дискретных величин: 10,5; 11; 11,5; 12; 13.

2. Диапазон рассеивания R определяется как разность между максимальной d_max=13мм и минимальной d_min=10мм величинами действительных значений измерений:

R = d _max – d _min =13 –10=3 мм.

3. Полученное значение диапазона рассеивания разбиваем на 4 интервала по числу групп одинаковых размеров и рассчитываем дискретный шаг p (мм) интервалов по формуле:

p = R/k =3/4=0,75.

4. Для каждого интервала подсчитываем число измерений n_j, имеющих величину, находящуюся в пределах границ этого интервала, а также частость числа измерений n_j /(N – 1) в данном интервале.

Результаты измерений и подсчётов заносим в таблицу 4.

Таблица 4 – Пример записи значений случайной величины при N=5 и k=4

где d_i – измеренное значение i-той детали;

d_j – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала;

n_j /(N – 1) – частость числа измерений в данном интервале (доли от единицы или проценты).

5. По экспериментальным данным строят гистограмму и эмпирическую кривую (полигон) распределения значений случайной величины.

Гистограмма – график, в прямоугольных осях «частость – диапазон рассеивания измеренных значений», состоящий из вертикальных прямоугольников различной высоты и эмпирической ломаной кривой, соединяющей серединки верхних перекладин прямоугольников, отображающей закон распределения измеряемых случайных величин.

Интервалы в диапазоне рассеивания размеров – отрезки оси абсцисс, делящие диапазон рассеивания на равные части.

Диапазон рассеивания размеров – разность между максимальным и минимальным размерами.

Построение гистограммы проводят следующим образом.

1) Длина оси абсцисс на рисунке может составлять примерно три четверти ширины страницы. Выбирают масштаб оси абсцисс: диапазон рассеивания R размеров может занимать на оси абсцисс чуть больше трёх четвертей её длины. Масштаб в этом случае:

М_{абсцисс}=R (мм)/ длина оси абсцисс на графике (см).

2) Высота оси ординат на рисунке может составлять примерно 5/8 от длины оси абсцисс. Выбирают масштаб оси ординат: максимальная величина частости может занимать примерно три четверти высоты оси ординат. Масштаб в этом случае:

М_{ординат}= n_j /(N – 1)_max / высота оси ординат на графике (см).

3) На середине оси абсцисс отмечают точку, соответствующую серединке перекладины прямоугольника, обозначающего интервал значений измеряемой величины, в котором находится номинальное значение. Вправо и влево откладывают минимальное и максимальное значения и отрезок оси между ними делят на количество интервалов.

4) Над каждым интервалом строят прямоугольник, соответствующий величине рассчитанной частости. Строят эмпирическую ломаную кривую, соединяя верхние серединки перекладин.

Рисунок – Пример построения гистограммы

6. Определяют среднее арифметическое значение всех замеренных действительных значений величин:

7. Рассеяние значений случайных величин в выборке N относительно эмпирического (опытного) группирования их по интервалам характеризуется уточнённым эмпирическим средним квадратическим отклонением, которое определяется по формуле:

= =1,04мм,

где – среднее арифметическое значение в группе измерений j-того интервала:

=10,5; 11,25; 12; 13мм.

8. По результатам выборки устанавливают границы, внутри которых с определённой вероятностью будет находиться математическое ожидание F(x) случайной величины x. Эти границы определяют доверительный интервал, который зависит от доверительной вероятности β. В общем случае при малой выборке и различной доверительной вероятности доверительный интервал в своих меньшей и большей границах выразится следующими неравенствами:

,

где - среднее квадратическое отклонение для распределения средних арифметических величин:

= мм.

t_δ – критерий Стьюдента, который для β=0,9 (90%-ная доверительная вероятность) при данном числе степеней свободы К (приведён в таблице 2).

Для нашего примера принять t_δ=2,9.

Подставив значения и сделав расчёт, получим значения доверительного интервала, мм:

11,4 – 2,9×0,26 ≤ F(x) ≤ 11,4 + 2,9×0,26 ,

или в числовом выражении:

10,65 ≤ F(x) ≤ 12,15.

9. Сравнивают границы доверительного интервала с возможными величинами разброса результатов измерений (допуск на размер, если он задан в условии задачи). Если границы доверительного интервала не выходят за пределы поля допуска, то партия деталей считается годной с доверительной вероятностью β.

В нашем примере нижняя граница доверительного интервала больше по величине, чем d_min, то есть 10,65 больше 10,5, а также верхняя граница доверительного интервала меньше по величине, чем d_max, то есть 12,15 меньше 13.

Для сравнения строим в примерном масштабе схему поля допуска заданного размера и на ней наносим поле доверительного интервала.

10. Ответом на решение задачи является вывод о годности партии деталей: партия деталей годна.

12
• Далее ⇒