Iнтерполяцiйнi сплайни двох змiнних
Поняття багатовимiрної iнтерполяцiї
Двовимiрнi таблицi широко розповсюдженi в технiцi та фiзицi. Тривимiрнi таблицi складають i використовують значно рiдше, бо такi таблицi дуже громiздкi. Тому для простоти обмежимося двовимiрними таблицями.
Двовимірна інтерполяція означає побудову функції, що проходить через точки, задані в просторі. Таким чином, замість залежності , яку ми інтерполювали, наприклад, поліномом Лагранжа
, слід будувати інтерполяцію за даними
, тобто знайти функцію двох змінних.
Нехай фузли інтерполяції розташовані в точках
.
В цих точках відомі значення функції . Потрібно побудувати поліном
по цим значенням.
Така задача виникає, наприклад, при відновленні рельєфу дна моря за допомогою промірів глубин ехолотом
Основні поняття
– Точки називаються вузлами інтерполяції, а їх сукупність – інтерполяційною сіткою.
– Трійки називаються точками даних або базовими точками
Задача інтерполяції складається у пошуку такої функції , що виконуються інтерполяційні властивості, а саме
.
максимально наближує функцію
в довільній точці
всередині інтерполяційній сітці.
– Функцію називають інтерполюючою функцією або інтерполянтом
Приклад самої простої інтерполяції – кусково-постійна інтерполяція
2. Інтерполяційна формула Лагранжа
Нехай функція двох змінних задана таблицею значень
Таблиця 1
де
Iнтерполяцiйна формула Лагранжа для наближення функцiї двох змiнних має наступний вигляд:
(1)
Випишемо частинний випадок при , тобто коли задана наступна таблиця значень
формула (1) прийме вигляд:
(2)
Приклад 1. Побудувати інтерполюючу функцію (табл. 2 ) за допомогою полінома Лагранжа за даними
Таблиця 2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |
0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,3 | |
![]() | 0,01 | 0,25 | ![]() | |
![]() | 0,2 | 0,05 | 0,29 | |
![]() | 0,4 | 0,17 | 0,41 |
Розв'язування.
Iнтерполяцiйна формула Лагранжа для функцій двох змінних має вигляд
Порiвняємо знайдене наближене значення з точним, знаючи, що таблицею 2 задана функцiя
. Точне значення
дорiвнює
Отже, абсолютна похибка наближення дорiвнює
Таким чином, знайдено наближене значення функціїї з похибкою
.
Iнтерполяцiйнi сплайни двох змiнних
Як правило, полiноми вищих степенiв для iнтерполяцiї функцiй двох змiнних використовуються рiдко. Краще скористатися iнтерполяцiйними сплайнами двох змiнних.
Нехай маємо функцiю , задану таблицею 1.
Iнтерполяцiйним бiлiнiйним сплайном називається функцiя , яка є лiнiйною вiдносно
i вiдносно
в кожному прямокутнику
i задовольняє умови
Iнтерполяцiйний бiлiнiйний сплайн має такий вигляд:
(3)
де
Приклад 2. Побудувати інтерполюючу функцію (табл. 2 ) за допомогою сплайнув першого степеня за даними
Таблиця 2
![]() | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | |
0,1 | 0,5 | 0,1 | 0,3 | |
![]() | 0,01 | 0,25 | ![]() | |
![]() | 0,2 | 0,05 | 0,29 | |
![]() | 0,4 | 0,17 | 0,41 |
Розв’язування.
Iнтерполяцiйний бiлiнiйний сплайн має такий вигляд:
.
Для того, щоб обчислити , треба визначити iнтервали, в якi потрапили
i
Тоді
Порiвняємо знайдене наближене значення з точним. Абсолютна похибка наближення дорiвнює
Таким чином, знайдено наближене значення функціїї
з похибкою
![]() |