Функции случайных аргументов
Пусть на вероятностном пространстве задана случайная величина 
Рассмотрим действительную функцию действительного аргумента 
, область определения которой включает в себя множество возможных значений случайной величины x.
Случайная величина 
действующая по правилу 
называется функцией 
от скалярной случайной величины x.
Рассмотрим дискретную случайную величину x, которая задана своим законом распределения вероятностей.
| x1 | x2 | … | xn |
| Р | p1 | p2 | … | pn |
Тогда имеет закон распределения вероятностей
| h | φ(x1) | φ(x2) | … | φ(xn) |
| p1 | p2 | … | pn |
При этом, если в верхней строке таблицы появляются одинаковые значения φ(xi), то соответствующие столбцы нужно объединить в один, приписав им суммарную вероятность.
Пример 1. Закон распределения случайной величины 
имеет вид
|
| –1 | |||
| 
| 
| 
| 
|
Найти законы распределения случайных величин:
1) 
, 2) 
, 3) 
.
Решение. 1) Возможные значения случайной величины найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины
: 
, 
, 
, 
.
Вероятности этих значений соответственно равны
, 
, 
, 
.
Так как среди значений 
нет повторяющихся, и они расположены в возрастающем порядке, то закон распределения случайной величины будет иметь вид
| –1 | |||
|
|
|
|
|
|
2) Возможные значения случайной величины найдем, подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : 
, , 
, 
. Вероятности этих значений соответственно равны , , , .
Среди значений нет повторяющихся, однако они расположены не в возрастающем порядке. Для получения закона распределения случайной величины 
расположим значения 
в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
| –1 | 
| 
| |
|
|
|
|
|
|
3) Возможные значения случайной величины найдем,
подставив в заданную функцию возможные значения случайной величины : 
, 
, 
, 
. Вероятности этих значений соответственно равны , , 
, .
Среди значений есть повторяющиеся 
. Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей и , то есть 
.
Для получения закона распределения случайной величины расположим значения 
в возрастающем порядке. Ряд распределения случайной величины будет иметь вид
| |||
|
|
| 
|
|
Если 
и 
– независимые дискретные случайные величины с возможными значениями 
и 
то 
может принимать значения 
Вероятности этих значений равны
.
Зная закон распределения случайной величины 
можно по известным формулам найти её числовые характеристики.
Пример 2. Независимые случайные величины 
имеют законы распределения
| |||
| 
| 
|
|
и
| 
| 
|
| 
| 
|
Найти законы распределения случайных величин 
:
а) 
; б) 
.
Решение.а) Возможные значения случайной величины 
– это 
, 
, 
, 
, 
, 
.
По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны
, 
, 
.
Составим таблицу значений и соответствующих им вероятностей
|
| ||||||
| 
| 
|
| 
|
|
|
Среди значений 
есть повторяющиеся 
. Объединим эти значения в одно, вероятность которого будет равна сумме вероятностей 
и 
, то есть 
.
Для получения закона распределения случайной величины расположим значения 
в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
| |||||
|
|
|
|
|
|
б) Возможные значения случайной величины 
– это 
, 
, 
, 
, 
, 
.
По теореме умножения вероятностей, вероятности этих значений соответственно равны
, , .
Составим таблицу значений и соответствующих им вероятностей
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Среди значений есть повторяющиеся 
и 
. Объединим повторяющиеся значения. Вероятности объединенных значений будет равна сумме вероятностей 
и 
, то есть и сумме вероятностей 
и , то есть 
.
Для получения закона распределения случайной величины 
расположим значения 
в возрастающем порядке. Закон распределения случайной величины будет иметь вид
| ||||
|
|
|
|
|
|
Пример 3.Бросаются 3 монеты. Пусть 
, если 
я монета выпала орлом вверх, и 
в противном случае, 
. Найти закон распределения случайной величины 
.
Решение.1. Определяем пространство элементарных исходов.
Элементарными исходами рассматриваемого случайного эксперимента являются упорядоченные наборы чисел 
, где 
либо нуль, либо единица 
.
2. Определяем множество возможных значений 
.
Случайная величина на элементарном исходе принимает значение 
.
3. Составляем таблицу элементарных исходов и соответствующих им значений .
| ||||||||
| ||||||||
| ||||||||
| –1 |
4. Определяем вероятности возможных значений и строим ее закон распределения.
Всего элементарных исходов 
. Следовательно, вероятность элементарного исхода равна 
. Имеем
|
| –1 | |||
|
| 
| 
|
|
|
Рассмотрим случай непрерывных случайных величин.
Пусть задана n-мерная случайная величина 
с плотностью распределения вероятности 
и задана функция 
. Чтобы определить случайную величину 
необходимо уметь вычислять вероятности 
для любых 
. Обозначим через D – множество точек
.
Тогда получим 
.
Определение.Скажем, что случайная величина 
, если для любых 
,
Рассмотрим уравнение 
где 
дифференцируемая функция и пусть 
, 
– функции, обратные к функции 
.
Тогда
;
;
;
.
Для случайного вектора 
с плотностью распределения 
, если 
, то 
.
Примеры функций случайных аргументов.
Распределение Пирсона 
с 
степенями свободы. Пусть 
и независимы. Тогда 
имеет плотность распределения
где 
– гамма-функция.
, 
.