Распределение Стьюдента с степенями свободы
,
где 
, 
, 
– независимые случайные величины, имеет плотность распределения
;
, 
, 
.
Пример 4. Случайная величина 
равномерно распределена на отрезке 
. Найти 
, 
, 
, где 
, 
.
Решение. Так как случайная величина равномерно распределена на отрезке , то 
Следовательно,
.
.
Аналогично найдем
.
,
.
Пример 5. Случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром 
. Найти , 
, 
, где, 
, 
.
Решение. По условию параметр экспоненциального распределения равен 4, следовательно,
.
Аналогично найдем
. Дважды интегрируя по частям, получим 
.
Пример 6.Плотность распределения случайной величины 
равна 
. Найти плотность распределения 
случайной величины 
.
Решение. Так как функция 
строго возрастающая при всех 
и имеет обратную, то плотность распределения случайной величины 
найдем по формуле
Для этого находим 
, 
Подставляем эти выражения в формулу, представляющую решение задачи в общем виде. То есть плотность распределения случайной величины будет равна
.
Пример 7.Плотность распределения случайной величины 
равна 
. Найти плотность распределения 
случайной величины 
.
Решение.1 способ. Решение задачи располагаем в виде двух столбцов: слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа – конкретные функции, соответствующие данному примеру. Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции 
обратная функция 
однозначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получаем:
2 способ.
.
Пример 8.Случайная величина распределена равномерно на интервале [0,2].
Функция 
задана графически
Рис. 3
Найти плотность распределения вероятности случайной величины 
.
Решение.В данном случае функцию 
аналитически можно задать следующим образом: 
или
Плотность распределения случайной величины имеет вид
Для нахождения 
воспользуемся формулой 
.Тогда
= 
= 
.
= 
,
где
–функция Хэвисайда.
Итак, 
.
Пример 9.Случайная точка 
распределена равномерно внутри круга радиуса 
Найти математическое ожидание случайной величины 
.
Решение.Плотность распределения вероятности
= 
=
.
В приложенияхчасто используется следующая теорема.
Теорема.Пусть 
независимые случайные величины, 
Тогда 
.
Замечание. Здесь и в дальнейшем запись 
означает, что непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вероятности 
.
Замечание.Операция 
называется сверткой функции f1 и f2.
Пример 10. Независимые случайные величины 
имеют показательные распределения с параметрами 
и 
. Найти плотность распределения случайной величины 
.
Решение.По условию задачи случайные величины имеют плотности распределения
и 
Так как случайные величины 
независимы, то их совместная плотность распределения
Случайная величина может принимать только положительные значения, следовательно 
. 
