Элементы теории вероятностей и математической статистики
61 – 70. Решить задачу:
61. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места.
62. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса; б) студент знает только два вопроса; в) студент знает только один вопрос.
63. Вероятность улучшить спортсменом личное достижение по прыжкам в длину равна 0,4. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему предоставлена возможность прыгать три раза.
64. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в цель; б) только два стрелка попадут в цель; в) все три стрелка попадут в цель.
65. В урне находится 10 шаров, 7 из которых – белые. Найти вероятность того, что из 6 взятых наугад шаров будет 4 белых.
66. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,7; второе – 0,9 и третье – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) все три устройства; в) хотя бы одно устройство.
67. В каждой из двух урн по 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую наудачу переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
68. Вероятность обращения в поликлинику каждого взрослого человека в период эпидемии гриппа равна 0,8. Найти, среди какого числа взрослых человек можно ожидать, что в поликлинику будет не менее 75 обращений.
69. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9; второе – 0,95 и третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
70. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливают детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке; 0,8, если на втором станке; 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
71 – 80. Решить задачу на нахождение числовых характеристик дискретной или непрерывной случайной величины:
71. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины 
, заданной законом распределения:
|
| -4 | ||
| 0,2 | 0,3 | 0,5 |
72. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной законом распределения:
|
| 0,21 | 0,54 | 0,61 |
|
| 0,1 | 0,5 | 0,4 |
73. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равно 0,4. Производится три выстрела. Составить закон распределения числа попаданий. Найти математическое ожидание найденной случайной величины. Построить многоугольник распределения.
74. Вероятность изготовления бракованной детали 0,1. Изготовлено три детали. Найти математическое ожидание найденной случайной величины. Построить многоугольник распределения.
75. Дискретная случайная величина принимает три возможных значения: 
с вероятностью 
; 
с вероятностью 
и 
с вероятностью 
Найти и 
, зная 
76. Случайная величина задана плотностью распределения 
в интервале 
; вне этого интервала 
. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .
77 – 80. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , заданной функцией распределения
77. 
78. 
79. 
80. 
Примеры решения заданий
Задание 1. Дана система линейных уравнений. Убедиться в совместности системы и решить ее тремя способами: методом Крамера, методом Гаусса и
средствами матричного исчисления. 
.
Решение. Для доказательства совместности системы вычислим определитель системы: 
, значит, система уравнений совместна.
1. Метод Крамера:
,
,
.
В результате, по формулам Крамера имеем:
, 
, 
.
Таким образом, решением системы является 
.
2. Метод Гаусса:
Суть метода – привести расширенную матрицу системы путем элементарных преобразований к ступенчатому или, другими словами, треугольному виду. Заметим, что эти преобразования уже были выполнены при доказательстве совместности системы линейных уравнений:
~ 
.
Далее, запишем «преобразованную» систему линейных уравнений, коэффициентами которой являются элементы полученной треугольной матрицы:
Решая полученную систему, учитывая последнее уравнение, из второго уравнения найдем 
: 
,
;
из третьего уравнения 
: 
,
.
Таким образом, решение системы: 
.
3. Решим систему линейных уравнений средствами матричного исчисления. Для этого запишем исходную систему в виде матричного уравнения
, где
, 
, 
.
Тогда, согласно формуле, 
.
Убедимся в том, что матрица 
существует, для этого вспомним, что определитель 
(вычислен при решении системы уравнений методом Крамера).
Таким образом, поскольку матрица А невырожденная, то она имеет обратную. Найдем 
по формуле:
, 
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 
.
Таким образом, 
, а значит,
Задание 2. Построить график функции 
.
Решение: Исходную функцию можно записать в виде: 
.
Найдем область определения этой функции: 
.
Этапы построения:
1. по точкам строим график функции 
:
| х | 0,5 | ||
| y | -1 |
2. строим график функции 
, сдвигая предыдущий график функции на 1 единицу влево вдоль оси Ох;
3. строим график функции 
, зеркально отображая предыдущий график функции 
относительно оси Ох;
4. строим окончательный график (жирным шрифтом) функции 
, поднимая график функции 
на 2 единицы вверх.
2 у
-1 1 х
Задание 3. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
.
При подстановке предельного значения 
в функцию убеждаемся, что имеем неопределенность вида 
.
.
б) 
. 
в) 
.
Имеем неопределенность вида 
. Разделим числитель и знаменатель дроби на 
(как старшую из степеней числителя и знаменателя), получим:
.
г) 
.
.
Задание 4. Найти производные функций:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
Решение:
Для выполнения этого задания понадобятся следующие сведения.
Таблица производных основных элементарных функций
1. 
, с=const.
2. 
, где 
. В частности, 
.
3. 
. 
4. 
, . 
.
5. 
. 6. 
. 7. 
.
8. 
. 9. 
. 10. 
.
11. 
. 12. 
.
Правила дифференцирования
Пусть 
, с - const.
1. 
2. 
. В частности, 
.
3. 
4. 
.
Перейдем к решению задания.
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е)
Задание 5. Исследовать функцию и построить ее график: 
.
План исследования функции и построения ее графика
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. В случае, когда, например, функция является нечетной (четной), достаточно проводить исследования и строить эскиз графика при 
с последующим симметричным его отображением (относительно начала координат для нечетной функции или относительно оси OY для четной).
3. Определить координаты точек пересечения графика функции с осями координат (для нахождения точки пересечения графика с осью OX решаем уравнение f(x)=0; для нахождения точки пересечения графика с осью OY подставляем в аналитическое выражение функции значение x=0).
4. Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, где 
).
5. Определить асимптоты графика функции.
6. Определить интервалы монотонности функции, экстремумы функции.
7. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, найти точки перегиба.
8. Построить эскиз графика.
Придерживаемся этой схемы исследования.
1. Функция определена при всех действительных x, кроме x = -2.
2. Исследуем функцию на четность (нечетность):
, кроме того, 
.
Таким образом, функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. имеем функцию общего вида. Функция не является периодической.
3. Решая уравнение f(x)=0, находим, что график функции пересекает оси координат в точке (0,0).
4. Определим промежутки знакопостоянства функции. Для этого на числовой оси отметим нули функции, т.е. точки пересечения с осью Ох, и точки, в которых функция не определена. А далее определим знаки функции в получившихся промежутках:
– + +
– 2 0
Таким образом, функция положительна (а значит, ее график расположен над осью Ох) на промежутке 
; функция отрицательна (а значит ее график расположен под осью Ох) на промежутке 
.
5. В силу свойств непрерывных функций функция непрерывна там, где определена, т.е. при всех действительных x, кроме x=–2. Поскольку 
,то прямая x = –2является вертикальной асимптотой графика.
Найдем теперь уравнение наклонной асимптоты:
.
Таким образом, прямая 
– наклонная асимптота.
6. Для определения экстремумов функции найдем первую производную: 
,
и решим уравнение: 
, т.е. 
.
Откуда получаем критические точки: 
.
+ – – +
– 4 –2 0
Таким образом, x = -4 – точка максимума, x = 0– точка минимума. Экстремумы функции: 
.
Кроме того, f(x) возрастает на интервалах 
и 
, а убывает на интервалах 
и 
.
7. Найдем теперь вторую производную:
Очевидно, что знак второй производной зависит только от знака знаменателя. При x>-2 
и график направлен выпуклостью вниз, а при x>-2 
и график направлен выпуклостью вверх.
Используя полученную информацию о функции, строим эскиз графика.
Задание 6. Найти неопределенные интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д)
Решение: а) .
Разбиваем интеграл на три интеграла и работаем с каждым:
б) .
.
в) .
Сделаем замену переменной: x² = t. Тогда 
. Следовательно, 
Можно было выполнить замену: 
, тогда 
, а 
.
г) .
.
д) 
.
Применим формулу интегрирования по частям: 
.
=
= 
.
Образцы решения заданий 61-80 можно найти в учебном пособии Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
Литература
Основная литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст]: учебное пособие для вузов / Бугров Я.С., Никольский С.М. – М.: Изд-во «Дрофа», 2007. – 512 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст]: учебное пособие для вузов / Бугров Я.С., Никольский С.М. – М.: Изд-во «Дрофа», 2009 – 288 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие для вузов/ Гмурман В.Е. – М.: Изд-во «Юрайт», 2010. – 480 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике статистика [Текст] / Гмурман В.Е. – М.:Изд-во «Юрайт», 2010. – 416 с.
5. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики [Текст]: учебное пособие для вузов / Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. –М.: Астрель-АСТ, 2008.–654 с.
6. Шипачев B.C. Основы высшей математики [Текст]: учебное пособие для вузов / Шипачев B.C. – М.: Высш. образование, 2009. – 479 с.
Дополнительная литература
7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: в 2-х частях. Ч.1. учебное пособие для вузов /Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. –М.: Оникс, 2006. –304 с.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: в 2-х частях. Ч.2. учебное пособие для вузов /Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Н. –М.: Оникс, 2006. –416 с.
9. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике [Текст] /Шипачев В.С. –М.: Высш.школа, 2009.–304с.
10. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей [Текст]: учебное пособие для вузов / Чистяков В.П. – М.: Изд-во «Дрофа», 2007.–256с.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
1. Математический портал [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.exponenta.ru
2. Математический портал [Электронный ресурс]. – Режим доступа http://www.allmath.ru
Задания и методические указания к выполнению
контрольной работы по дисциплине
«Математика»
Подписано в печать _________. Формат 60´84/16. Бумага для множ. аппаратов.
Печать плоская. Усл. печ. л. ___. Уч.-изд. л.____. Тираж ____ экз. Заказ № ____.
ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет». Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.
Ризограф ФГАОУ ВПО РГППУ. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, 11.