Глава 2. Примарные и бипримарные группы
Примарные группы и их простейшие свойства
Определение 2.1.1. Группа 
называется примарной, если её порядок равен степени некоторого простого числа.
Теорема 2.1.1 (Свойства примарных групп). Пусть 
– примарная группа.
1. Центр неединичной примарной группы отличен от 1.
Доказательство. Пусть 
‒ 
-группа порядка 
и 
‒ все различные классы сопряженных элементов группы , 
Как известно, порядок класса сопряженных с 
элементов равен индексу централизатора , то есть 
. Каждый элемент центра составляет отдельный класс и наоборот, если 
то 
где 
‒ центр. Итак, 
где 
при 
Пусть 
Тогда 
Отсюда следует, что существует 
такое, что 
Но тогда 
и 
2. В примарной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
Доказательство. Пусть 
‒ 
-группа и 
‒ собственная подгруппа. Рассмотрим разложение группы в двойные смежные классы по :
Здесь 
Используя Теорему 1.2.2, получаем:
Теперь из разложения 
имеем
Пусть 
Тогда из равенства 
следует, что
Так как 
то в правой части равенства под знаком суммы имеются слагаемые, равные единице, то есть существует номер 
такой, что 
Это означает, что 
и 
Ввиду того что 
элемент 
не принадлежит и ‒ собственная подгруппа 
3. В примарной группе все максимальные подгруппы нормальны и имеют простые индексы.
Доказательство. Пусть ‒ -группа и 
По 2 пункту рассматриваемой леммы 
‒ собственная подгруппа в своем нормализаторе 
Из максимальности следует, что 
и 
По теореме о соответствии в фактор-группе 
нет нетривиальных подгрупп, поэтому согласно теореме Силова группа имеет простой порядок.
4. В примарной группе пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы.
Доказательство. Пусть ‒ -группа и 
Требуется доказать, что 
Если 
‒ произвольный элемент из 
то 
для любого элемента 
Поэтому состоит из классов сопряженных элементов группы , то есть 
где 
Можно положить Поскольку 
то, считая 
получаем
Теперь ясно, что существует такое, что 
и 
5. Минимальная нормальная подгруппа примарной группы имеет простой порядок и содержится в центре группы.
Доказательство. Пусть ‒ -группа и 
Так как 
то 
, а поскольку 
то 
Согласно теореме Силова в 
существует элемент простого порядка. Поэтому 
и из условия 
следует, что 
Теорема доказана.
Определение 2.1.2. Пусть 
Группа называется -группой, если 
, где 
Лемма 2.1.1 Пусть 
Если – абелева группа и 
, такая что 
Теоремы Силова
Определение 2.2.1.
1) Пусть 
где 
Подгруппа 
группы называется силовской -подгруппой группы ( -силовской, силовой), если 
и обозначается 
.
2) 
множество всех силовских подгрупп группы (множество всех силовских -подгрупп группы ).
Теорема 2.2.1 (Первая теорема Силова). Пусть 
Тогда в существуют силовские -подгруппы.
Доказательство. Пусть – контрпример минимального порядка.
Расcмотрим 
а) Пусть 
.
По лемме 1.2.2(2) 
. Так как 
.
Если 
то 
. Пусть 
. Противоречие.
б) Пусть 
не делится на . Рассмотрим формулу классов для 
не делится на 
Таким образом, 
Тогда по лемме 1.2.3(2) 
не делится на . Следовательно, по теореме Лагранжа 
не делится на 
. Соответственно 
где 
Допустим, что 
Тогда 
Противоречие. Следовательно, 
Тогда 
.
Таким образом, 
Противоречие.
Из а) и б) вытекает, что контрпримера не существует. Следовательно, утверждение верно для любой . Теорема доказана.
Теорема 2.2.2 (Вторая теорема Силова).Всякая р-подгруппа группы содержится в некоторой силовской -подгруппе группы 
Доказательство. Пусть ‒ р-подгруппа группы . Тогда 
, 
. Если β=0 ⇒ 
.
Если α=β ⇒ 
. Пусть 
. Пусть 
. Рассмотрим разложение в двойные смежные классы по подгруппе и 
:
Следовательно, 
Таким образом, 
такое что 
не делится на 
Соответственно 
, причем из 
. Теорема доказана.
Теорема 2.2.3 (Третья теорема Силова). Любые 2 силовские -подгруппы группы 
сопряжены в 
Доказательство. Пусть и 
‒ силовские -подгруппы группы . Покажем, что и сопряжены в . Так как ‒ -подгруппа группы , следовательно, по теореме 2.2.2 
для некоторого 
и сопряжены в . Теорема доказана.
Теорема 2.2.4 (Четвертая теорема Силова).Число силовских р-подгрупп группы сравнимо с единицей по модулю и делит 
Доказательство. Пусть 
‒ число силовских р-подгрупп группы . Пусть ‒ силовская р-подгруппа группы . Тогда, по теореме 2.2.3, множество всех силовских р-подгрупп имеет вид:
⇒ 
.
Следовательно, 
Из (1) ⇒ 
Рассмотрим разложение в двойные смежные классы по подгруппе и 
:
. Соответственно, 
По формуле (2) 
⇒ 
Пусть 
. Тогда 
Покажем, что 
. Допустим, что 
не делится на . Тогда 
, такое что
. Таким образом, и 
‒ два разложения силовских р-подгрупп в . С другой стороны, 
. Следовательно, ‒ единственная силовская р-подгруппа в , что является противоречием. Таким образом, ⇒ 
⇒ 
. Теорема доказана.