Свойства силовских подгрупп
Лемма 2.3.1 (Фраттини).Пусть 
Тогда 
Доказательство.
1) Так как 
и 
то 
.
2) Покажем, что 
.Пусть 
Рассмотрим 
сопряжены в 
Следовательно, 
Тогда 
Таким образом, 
Соответственно, 
. Следовательно, 
.
Из 1) и 2) получим 
Лемма доказана.
Лемма 2.3.2 Пусть 
Тогда 
Доказательство. Пусть 
Покажем, что
1) С одной стороны 
2) Покажем, что 
Пусть 
. Покажем, что 
.
Рассмотрим 
:
Таким образом, 
сопряжены в 
Следовательно, 
Тогда 
Таким образом, Лемма доказана.
Теорема 2.3.1 Пусть 
Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
2) 
3) 
Бипримарные группы
Определение 2.4.1. Группа G называется бипримарной, если 
, где 
Теорема 2.4.1(Бернсайда). Конечная бипримарная группа является разрешимой.
Следствие 2.4.1. Группа порядка 
разрешима для любого 
Теорема 2.4.2 Пусть 
‒ группа порядка 
, где 
и 
‒ различные простые числа. Тогда:
1) если 
, то силовская 
-подгруппа нормальна в 
;
2) если 
, то силовская 
-подгруппа нормальна в ;
3) если 
, но 
, то в группе есть неединичная нормальная -подгруппа.
Доказательство. Пусть 
и 
‒ силовские -подгруппа и -подгруппа группы . Ясно, что 
или , а по теореме Силова
Аналогично, 
1) Если 
то 
и 
‒ нормальная подгруппа группы .
2) Если , то 
и 
‒ нормальная подгруппа группы 
3) Теперь пусть 
и . Если ‒ нормальная подгруппа группы , то утверждение (3) справедливо. Пусть не является нормальной подгруппой группы и пусть 
и 
‒ различные силовские -подгруппы группы , для которых пересечение 
имеет наибольший порядок. Так как
то 
. Если 
‒ нормальная подгруппа группы , то теорема доказана.
Пусть не является нормальной подгруппой группы . Подгруппа 
не является -группой, поэтому некоторая силовская -подгруппа группы содержится в 
. Так как 
, то каждый элемент 
представим в виде 
, где 
Поэтому 
. Теорема доказана.
Заключение
В данном реферате были выполнены следующие задачи:
§ Рассмотрены основные определения теории групп (определение абелевой группы, порядка группы, правого и левого смежного классов, индекса подгруппы, минимальной и максимальной нормальной подгруппы, понятия нормализатора и централизатора, примарной и бипримарной групп и другие).
§ Проведено исследование свойств примарных группы. Рассмотрено определение силовской -подгруппы конечной группы и изучены свойства силовских -подгрупп.
§ Исследованы основные теоремы Силова: о существовании силовских p-подгрупп; о сопряженности силовских p-подгрупп и вложении p-подгруппы в силовскую p-подгруппу; о числе силовских p-подгрупп.
§ Исследованы бипримарные группы и их основные свойства.
Список литературы
1. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.
2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.
3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.
6. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.
7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.