Существует единственное решения ДУ n-го порядка
= f (x, y, y’, y’’ , … 
y ( 
) = 
y’ ( ) = ’
= ‘’ , … , 
( ) = 
Если в окрестности начальной точки :
( , , 
’, ’’ , 
)
Функция f – является не прерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяющая условию Липшица по всем аргументам начиная со второго
Теорема (3.6)
Существование и единственности решения системы :
= f I ( x, 
)
( ) = y I 0 (i= 1, 2, … , n) (3.9)
Предположим , что в области Д , определённое неравенством :
– a 
x + a i = (1, 2, … , 
)
– bi 
+ bi
Правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условию :
① 
(x, ) i= (1, 2, … , n) │ 
│ M
② все формулы (1 … n) удовлетворяет условия Липшица
│ 
(x, y, 
│
3. Простейшие ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешить относительно к производной представляя в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:
= 1(х)
В этом случае:
y= 
Содержит произвольную постоянную, которая может быть определенна если известно первоначальное значение:
y( ) =
Тогда y= + 
Вообще при некотором ограничении на функцию f(x)=y уравнение:
= f (x, y)
также имеет одинаковое решение удовлетворяющее условию :
y ( ) =
а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной
4. Уравнения с разделяющимися переменными : 
5. Уравнения вида 
, 
:
К уравнению с разделёнными переменными приводит и однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
= f ( 
)
z = y = x z
x = 
Напомним , что функция ϕ (x , y) называется однородной степени k
4 (tx , ty ) = 
ϕ (x , y)
Правая часть однородного уравнения , является однородной функцией переменных x и y нулевой степени однородности.
Поэтому уравнение вида :
M (x, y) dx + N (x , y) dy = 0
Будет однородным если M (x , y) и N (x , y) является однородной функцией (x , y) одинаковой степени однородности, то есть в этом случае
Уравнение такого вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения ( 
) переменных
Действия в новых координатах
x = x - 
y = y - 
Свободный член = 0
Коэффициент при текущей координате остается неизменным , а производная :
и уравнение (2.3) преобразится к виду:
)
или 
) = ϕ ( 
и является Однородным Уравнением
Этот метод не применим если эти прямые:
x + 
y + 
= 0 - параллельные
x + 
y + 
= 0
на 
= c
= k
И уравнение (2.3) может быть записано в виде : 
f ( 
которое с заменой
z = 
, преобразованное уравнение в уравнении с разделом переменной .
6. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.: 
7. Уравнение в полных дифференциалах. 
8. Уравнение, допускающее интегрирующий множитель.:
В некотором случае ,когда левая часть M (x , y) dx + N(x , y ) dy = 0 (2.8)
не является полной дифференциалом, легко удается подобрать функцию 
умножения на которую, левая часть (2,8) превращается в полный дифференциал то есть :
d U = ϻM dx + ϻN dy
Такая функция ϻ– интегрируемая множеством ϻ(x, y) может привести к появлению постороннего решения , обращающего 
(x, y) в ноль
Надо подобрать ненулевое решение уравнения:
(2.11)
Вообще задача интегрирования (2.11) ничем нелегче 
(2.10)
Если считать ϻ – Ф одной переменной будь то x, y, … , то задача упрощается
Например : условие, когда ϻ (x) => 
- непрерывная функция x =>
Ln M = 
M= C * 
(2.12)
Можно считать c=1, так как нам нужен хоть 1 интегральный множитель
Если 
является функцией тока x то интегральное множество найдется по уравнению (2.12)
Аналогично можно выписать условия при которых интегральное множество зависит от другой выбранной переменной
9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Ла-гранжа.:
ЛОДУ п-го порядка – уравнение линейной относительности неизвестной функции и её производной и значит имеющий вид:
+ (x) + … + 
(x) * 
+ 
(x) y= ϕ (x) (3.1)
Если правая ϕ (x)≡0 то уравнение называется линейным однородным
Поскольку , однородно относится неизвестная функция y и её y’
Если коэффициент 
ни в одной точке некоторого отрезка a 
то разделим на 
приведем к виду
+ 
(x) + … + 
(x) y’ + 
(x) y = 0 (3.2)
=- 