Вариации произвольных постоянных
Для нахождения общего решения y’’ + (x) y’ +
(x) y = f (x) необходимо найти частное решение
.
Его можно найти из общего решения уравнения y’’ + (x) y’ +
(x) y = 0 некоторых вариаций произвольных постоянных
=
+
(5.6)
=
+
+
+
=
+
+
+
Подставим в (5.1)
+
+
+
+
(x)
+
+
(x)
+
= f (x)
+
+
+
+
(x)
+
(x)
+
= f (x)
= W (x)
0
=
(x)
=
(x)
Интегрированием найдем и
Затем по формуле (5.6) составим общее решение
Теорема (5.2) : о наложение решения
Если правая часть уравнения y’’ + (x) y’ +
(x) y = f (x) представляет собой сумму 2-ух функций:
f(x) = (x) +
(x) ,
а u
- частное решение уравнения
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)
То функция
Является решение данного уравнения
(
) ‘’ +
) ‘ +
) ‘=
‘’ +
+
+ (
) ‘’ +
) ‘ +
=
(x) +
(x) = f(x)
10. Уравнение Бернулли.
11. Уравнение Риккати.:
Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в форме:
где a(x), b(x), c(x) − непрерывные функции, зависящие от переменной x.
Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.
Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати. Его решение основано на следующей теореме:
Теорема: Если известно частное решение y1 уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой
Действительно, подставляя решение y = y1 + u в уравнение Риккати, имеем:
Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y1 − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u(x):
Второй вариант риккати(писать только один из)
В общем случае не интегрированно в квадратурах
Однако если известно одно частное решение , то уравнение Риккати можно свести к уравнению Бернулли
Для этого положим сделаем замену:
y =
+ p(x)
+ p (x) z + q (x) *
+ q (x) * 2
z + q (x)
= f (x)
+ p(x) z + 2q (x)
z +q(x)
= 0
+z (p (x) + 2q (x)
) + q (x)
=0
n=2 Бернули
12. Уравнение Лагранжа.:
13. Уравнение Клеро.:
14. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Случаи понижения порядка.
15. Линейные дифференциальные уравнения n го порядка. Вронскиан. Фундаментальная система решений.:
16. Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение:
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных
дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными
коэффициентами.
17. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения в случае уравнения с квазиполиномом:
Квазиполином Эйлера: Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами : y’’ + p y’ + q y = f(x) (5.7) Можно искать частное решение методом Лагранжа, однако в некоторых случаях
можно найти проще Рассмотрим эти случаи :1. f(x) =
,
-многочлен степени n. 2.f(x) =
(
cos β x +
(x) sin β x). В этих случаях f(x) называют квазиполиномом ЭЙЛЕРА. В этих случаях записывают ожидаемую форму решения
с неопределенными коэффициентами и подставляют в ур-е (5.1). Из полученного тождества находят значение коэффициентов. Случай 1 : правая часть (5.7) имеет вид :f(x) =
α
R
-многочлен степени n. Ур-е (5,7) запишется в виде: y’’ + p y’ + q y =
(5.8) В этом случае частное реш-е
ищем в виде:
=
Qn (x)
(5.9) где r – число = кратности α как корня характеристического ур-я
+ p k + q = 0,т.е. r – число,показывающее сколько раз α явл-я корнем ур-я
+ p k + q = 0, При этом Qn (x) =
+
+ …. + An –многочлен степени n, записанный с неопределёнными коэффициентами Ai (i= 0, 1, 2,…n) А) Пусть α не является корнем характеристического ур-я :
+ p k + q = 0,т.е. α
, r = 0 и решение ищем в виде
= Q n (x)
Б) Пусть α является однократным(простым) корнем характеристического ур-я
+ p k + q = 0, α =
r = 1,
= x Q n (x)
В) Пусть α =
является 2-хкратным корнем характеристического ур-я
+ p k + q = 0 , r = 2
=
Q n (x)
Случай 2 : Правая часть (5.7) имеет вид :f(x) =
(
) cosβx + Q m (x) sin β (x ) ,Где
)и Qm (x) многочлены степени n и m соответственно, α и β - действительного числа, тогда ур-е (5.7) запишется в виде y’’ + py’ + qy =
(
) cosβx + Qm (x) sinxβ ) (5.10) В это случае частное решение:
=
* (Ml (x) cosβx + N l (x) sin βx ) (5.11) r-число равное кратности (α + βi) как корня уравнения :
+ pk + q = 0, Me (x) и Ne (x)-многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами. l –наивысшая степень многочленов
)и Qm (x), l =max( n,m). Замечание 1 :После подстановки функции (5.11) в (5.10) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригоном. функциями в левой и правой частях ур-я. Замечание 2 : Формула (5.11) сохраняется и при
)
0 и Qm (x)
0. Замечание 3 : Если правая часть ур-я (5.7) есть сумма функций вида 1 и 2 , то для нахождения
следует использовать теорему (5.2) о наложении решений. Теорема (5.2) : о наложении решений: Если правые части ур-я (5.1) представляют собой сумму 2-х функций:f(x) =
(x) +
(x) ,а
u
- частные решения ур-я
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)
+
(x) y ‘ +
(x) y =
(x)То
является решение данного ур-я. Интегрирование ЛНДУ п-го порядка (n
постоянным коэффициентом и правой частью специального вида. Рассмотрим ЛНДУ n-го порядка
+
(x)
+
(x)
+ … +
(x)y = f(x) где
(x) , …,
(x) , f(x) заданы непрерывной функцией на интервале (а, b) . Соотв. однородное ур-е
+
(x)
+ … +
(x)y = 0. Общее решение y ЛНДУ n-го порядка = сумме частного решения
НУ и общего решения
ОУy=
.
может быть найдено если известно общее решение
ОУ
=
+
+ … +
гдеyi(x) – частное реш-е образующее фундаментальную систему решений ОУ.Для нахождения Сi(x)составляется система ур-й
+
+ … +
= 0
+
+ … +
= 0
+
+ … +
= 0
+
+ … +
= f (x)Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть f(x) которого имеет специальный вид,
можно найти методом неопределенных коэф-в.Метод подбора частного решения
для уравнения y’’ +
+ … +
y = f (x)
R,где f (x) квазиполином Эйлера тот же что и при n=2.
18. Линейные неоднородные уравнения. Отыскание частного решения методом вариации произвольных постоянных.:
19. Системы дифференциальных уравнений. Запись задачи в матричной форме:
20. Сведение систем дифференциальных уравнений к одному уравнению более высокого порядка.: