Считая концентрацию насыщенного раствора соли равной 1/3, найти количество растворенной соли в течение часа, если за это время было влито 180 л воды.
▲ Скорость уменьшения нерастворенного вещества 
должна быть пропорциональна х и С0 – Ct, что приводит к дифференциальному уравнению
где k (предполагается, что k > 0) —коэффициент пропорциональности, подлежащий определению.
В правой части поставлен знак минус, так как каждый из мноdx жителей k, х, С0–Ct, через произведение которых выражается , положителен, в то время как < 0, поскольку с течением времени количество нерастворенного вещества должно убывать.
Преобразуя произведение этих множителей и выражая Ct через М, V и х, получаем
Пусть
(1)
Тогда
и искомое дифференциальное уравнение задачи принимает вид
(2)
Начальное условие:
при t=0 x=M. (3)
Условие для определения коэффициента а:
при t=1 ч х=M/2. (4)
Разделяя переменные в уравнении (2) и интегрируя, имеем
(5)
Разложим подынтегральное выражение первого интеграла на простейшие дроби:
Теперь, умножив обе части уравнения (5) на b, можем записать
,
потенцируя, получим
(6)
Полагая в уравнении (6) t=0 и принимая во внимание начальное условие (3), находим
(7)
Тогда уравнение (6) примет вид
Решая последнее равенство относительно х, имеем
или
откуда общее решение
(8)
Выполним проверку: полагая в уравнении (8) t=0, получим
.
т. е. начальное условие соблюдается.
Дифференцируя уравнение (8) по t, найдем
.
Составим с помощью уравнения (7) выражение
.
Итак,
.
По условию М=10 кг, V=90 л, С0=1/3, поэтому по второму из соотношений (1)
Равенство (8) примет вид
.
Согласно условию (4), откуда
Согласно первому из соотношения (1),
k=0,0255·90=2,295
При V=180 л
a = 0,0255 : 2 = 0,01275; b = (180:3) – 10 = 50; a·b =0.6375
Искомое количество растворившейся соли
.
Следовательно, количество растворенной соли в течение часаравно М—х= 5,2 кг. ▲
Задача 58. В процессе зарядки коронным разрядом в воздушной или газовой среде происходит процесс ионизации, при котором за 1 сек образуется q положительных и q отрицательных ионов в данном объеме газа. Так как положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой, то количество их убывает. Из общего количества п положительных ионов в каждую секунду соединяется часть, пропорциональная квадрату их количества. Коэффициент пропорциональности k зависит от природы и состояния газа. Найти зависимость количества ионов п от времени t.
▲ Непосредственно из условия можно записать дифференциальное уравнение процесса ионизации
(1)
После разделения переменных в уравнении (1) получаем
или
Приведем уравнение к виду
. (2)
Найдем общий интеграл уравнения (2)
откуда после потенцирования имеем
Следовательно, общее решение принимает вид
(3)
С учетом начального условия: при t = 0 п = 0, определим значение произвольной постоянной С.
откуда
С = 1
Подставляя найденное значение постоянной интегрирования в уравнение (3), получаем искомый закон
. ▲
Пример (одн.ур). Для равномерного освещения кусков рудной массы при реализации процесса фотометрической сепарации необходимо определить форму зеркала, чтобы отраженные от него лучи были параллельны оси Ох. Источник света помещен в точке О (Рис.).
Рис.
▲ Рассмотрим кривую сечения поверхности зеркала плоскостью хОу и на этой кривой произвольную точку Р(х,у) (рис.). Угол падения луча равен углу отражения и поэтому 
OQP = α.
Так как OQP = α, то Δ OPQ — равнобедренный. Таким образом, 
.
Считая у>0, получаем
Умножая числитель и знаменатель дроби на выражение 
, имеем
откуда
или
Проинтегрировав последнее равенство, получаем
или
(1)
По условию кривая должна быть симметричной относительно оси Ох, т. е. уравнение (1) будет выполняться и при у<0. Равенство (1) показывает, что искомая кривая есть парабола с осью симметрии Ох.
Пусть дано расстояние от источника света О до центра зеркала S: 
. Тем самым получаем начальное условие:
при х = -а у = 0 (2)
Подставляя эти значения в уравнение (1), имеем
откуда
С = 2а.
Значение С=0 не подходит по физическому смыслу задачи. Таким образом, искомая парабола:
Для этой параболы р = 2а и, следовательно, фокусное расстояние р/2=а, т. е. источник света О находится в фокусе. Плоскость хОу, в которой лежит парабола , проходит через ось Ох. Уравнение параболы не изменится, если эту плоскость вращать вокруг оси Ох. Это значит, что поверхностью зеркала будет служить параболоид вращения. Этот параболоид в сечении с любой плоскостью, проходящей через ось Ох, будет давать параболу, уравнение которой найдено выше. ▲