Задача 96. Найти закон нагрева теплообменника при постоянном притоке теплоты.
▲ Пусть: dT — изменение температуры отопительного аппарата в течение времени dt; G — вес аппарата; с — специфическая теплота материала аппарата; λ — коэффициент теплопереноса поверхностью аппарата (на единицу площади для повышения температуры на 1°С); Q — количество поступающей теплоты в единицу времени; S — поверхность теплопередачи аппарата; T1— наружная температура; Т— T1— превышение наружной температуры теплообменника.
В течение времени dt происходят следующие процессы:
а) в теплообменник поступает количество теплоты, равное Qdt;
б) в аппарате накапливается количество теплоты, равное GcdT;
в) отдается в окружающую среду количество теплоты, равное S(Т— T1)λt.
Суммируя эти количества, получаем уравнение теплового баланса
или
Полагая 
и 
, дифференциальное уравнение процесса запишем в виде линейного неоднородного уравнения:
(1)
Для нахождения решения уравнения (1) воспользуемся формулой Эйлера
(2)
Используя начальное условие: при t = 0 T=T1, найдем чему равна произвольная постоянная
Тогда уравнение процесса принимает вид
(3)
или, подставляя значения а и b, получим:
При T1=0из уравнения (3) получим
или
(4)
Исследуем этот закон. При t 
получаем
где Тк — конечная температура теплообменника. Уравнение (4) может быть записано в виде
(5)
Подставляя теперь в уравнение (5) значение
Получаем
Время τ — называется постоянной времени. ▲
Задача 97. При размыкании цепи (в момент появления искры) сопротивление цепи R быстро возрастает от первоначальной величины Ro до бесконечности. На основании опыта допускают, что зависимость /? от t в этом процессе выражается
Где τ — время всего процесса размыкания. Найти силу тока i в любой момент в цепи при постоянной электродвижущей силе Е и самоиндукции L.
▲ Так как в цепи действуют электродвижущая сила источника Е и электродвижущая сила самоиндукции 
,то результирующая электродвижущая сила
,
По закону Ома
,
или
,
В процессе размыкания цепи .Отсюда получаем дифференциальное уравнение процесса
, (1)
которое является линейным неоднородным уравнением.
Общее решение уравнения (1) в соответствии с формулой Эйлера можно представить в виде
.
Возможны два случая: 
и 
.
В первом случае после раскрытия интеграла в квадратных скобках общее решение будет
. (2)
Во втором случае общее решение примет вид
. (3)
Начальное условие: в момент начала размыкания при t = 0 сила тока 
. Тогда в первом случае
откуда
(4)
Выражение (4) подставляем в общее решение (2) и получаем
.
Аналогично во втором случае
Откуда
или, так как , то
(5)
Подставляя выражение (5) в общее решение (3), получим окончательное решение исходной задачи
.▲
Пример. Кусок рудной массы т падает в рудоспуск под действием силы тяжести, при этом воздух оказывает сопротивление, пропорциональное квадрату скорости падения. Найти закон движения куска.
▲ Пусть s — расстояние, пройденное телом к моменту t. Тогда движение определяется уравнением
которое может быть представлено в виде
(1)
где скорость 
. Дифференциальное уравнение (1) является уравнением Риккати.
Разделяя в нем переменные, имеем
или после сокращения левой части равенства на т
Интегрируя это равенство, получаем
(2)
Для вычисления интеграла в левой части уравнения (2) применяем метод неопределенных коэффициентов, и тогда
(3)
Откуда
или
Подставляя найденные значения коэффициентов в интеграл (3), имеем
Для краткости обозначим 
. Тогда после умножения равенства на 
находим
или
откуда
(4)
Потенцируя уравнение (4), получаем
Откуда искомая функция имеет вид
или с учетом того, что 
и 
, получим
(5)
Из уравнения (5) очевидно, что при t, стремящемся к бесконечности, скорость v достигает предельного значения
vmax= V,
для которого
Следовательно, уравнение (5) записывается в виде
(6)
Начальное условие: при t = 0 v = v0.
Пусть ради краткости записи и0=v0/V. Тогда постоянная интегрирования С* в уравнении (6) принимает значение
Подставляя это значение в уравнение (6), замечаем, что v может быть записана в виде
Принимая, что при t = 0 s = 0, можем теперь определить закон движения s:
Подставляя 
и 
в это равенство, окончательно получаем искомый закон движения
.▲
Задача 107. При детальном изучении поверхности выработки необходимо сфокусировать световое излучение таким образом, чтобы освещенность поверхности была максимальной. Для этого необходимо определить меридиан поверхности вращения зеркала, обеспечивающий фокусировку световых лучей, падающих на его поверхность параллельно оси вращения, которые после отражения сходились бы в одной точке на оси вращения.
▲ Пусть фокус будет началом принятой нами системы координат (рис. 59).
Рис. 59
Луч Р падает в точку М поверхности зеркала и, отразившись, проходит через фокус F. В точке М проводим касательную, пересекающую ось абсцисс в точке Q, и нормаль, пересекающую ось абсцисс в точке S.
Пусть α — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.
Тогда
так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних неприлегающих углов. Далее
так как это накрест лежащие углы, образуемые пересечением прямой параллельных линий;
на основании теоремы об углах падения и отражения лучей;
так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних неприлегающих углов, или
Обозначая координаты точки М через х и у, имеем:
Как известно,
но, с другой стороны,
.
Поэтому
или
(1)
Это уравнение Лагранжа. Введем параметр следующим образом
,
Тогда уравнение (1) можно записать в виде
(2)
Таким образом, функция у является функцией двух переменных
Вычислим полный дифференциал этой функции
Разделив полученное выражение на dx
,
или
,
и после разделения в нем переменных, получим
. (3)
Проинтегрируем уравнение (3)
. (4)
Преобразуем интеграл в правой части равенства (4):
Таким образом, решение уравнения (4) принимает вид
откуда
или
(5)
Подставляя (5) в уравнение (2), получаем
или
Это выражение подставляем в уравнение (5):
отсюда
Итак, меридиан поверхности вращения зеркала, обеспечивающий фокусировку световых лучей, падающих на его поверхность параллельно оси вращения, которые после отражения сходились бы в одной точке на оси вращения описывается уравнением параболы, симметричной относительно оси абсцисс ▲.
Задача . По наклонному лотку длиной l =3 м перемещается горная масса. Угол наклона лотка α = 45º. Коэффциент трения кусков руды по лотку k = 0,5. Определить закон движения среднего по массе куска руды и время, в течение которого этот кусок достигнет края лотка, если в начальный момент времени скорсть такого куска была равна v0.
▲ В любой момент времени t на рудный кусок действуют три силы: вес Р, сила трения F и реакция плоскоти лотка N1. Нормальная N и тангенциальная Т составляющие силы Р равны
, 
Сила трения опрделяется по формуле
Действующие силы P,F, N1, заменяем эквивалентной системой сил Т и F (т.к. Силы N и N1 взаимно уравновешиваются, а система сил Т и N эквивалентна силе Р). Равнодействующая эквивалентной системы определяется уравнением
R = T + F
или
(1)
и действует по направлению движения куска.
С другой стороны вес опрделяется выражением
P = mg, (2)
а равнодействующая вторым законом Ньютона
(3)
Поэтому полставляя (2) и (3) в уравнение (1), получим
или
(4)
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка вида
решение котрого находится путем его последовательного интегрирования. Интегрируя уравнение (4), получим
(5)
В уравнении (5) определим значения произвольных постоянных С1 и С2. Для этого воспользуемся условиями, а именно, в начальный момент времени t0 рудный кусок по лотку не двигался, т.е. S = 0, однако, начальная скорость в этот момент времени равна v0. Поэтому для определения значений С1 и С2 , получаем систему уравнений
v0 = 
Решая эту систему наедем, что
С2 = 0
С1 = v0
Таким образом, искомый закон движения куска по лотку имеет вид
(6)
Для того, чтобы определить время движения куска по лотку, необходимо разрешить уравнение (6) относительно t
или
, (7)
т.к. S = l = 3 м, то уравнение (7) принимает вид
▲
Пример . Электросостав перевозит горную массу по горизонтальной выработке со скоростью v0 = 15 км/ч. При подходе к месту погрузки машинист включает тормоз и сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 веса состава. Найти время от момента включения тормоза до полной остановки состава и расстояние, пройденное за это время.
▲Пусть масса железнодорожного состава равна m. Тогда сила тяжести сосава равна
Р = mg (1)
где g — ускорение силы тяжести. Расстояние, пройденное центром тяжести состава после начала торможения, есть неизвестная функция впемени s = f(t).
Скорость движения состава определяется уравнением
,
а ускорение
. (2)
На основании второго закона Ньютона (произведение массы на ускорение движущегося тела равно действующей на него силе) можно записать
ma = - 0,2P, (3)
где минус указывает, что сила торможения направлена против движения состава
Подставив (1) и (2) в уравнение (3), получим
или
(4)
Инегрируя уравненеие (4), найдем
(5)
Значение произвольной постоянной С1 определим из условия: при t = 0 начальная скорость состава (в начале торможения) равна v0 = 15 км/ч= 4м/с
4 = - 0,2g×0 + C1
Следовательно,
C1 = 4 (6)
Подставив (6) в (5), получм уравнение скорости движения состава
(7)
С учетом того, что в момент остановки состава его скорость равна нулю
.
При этом условии определим время прошедшее с момента начала торможения до полной остановки состава
.
Для определения расстояния, которое прошел состав до полной остановки, проитегрируем уравнение (7)
(8)
Произвольную постоянную С2 определим из условия, что в момент остановки состава проейденный путь равен нулю: при t = 0 s =0
следовательно
С2 = 0. (9)
Подставив (9) в (8), получим уравнение пройденного пути составом
С учетом того, что время прошедшее с момента начала торможения до полной остановки составаравно 2,1 сек, найдем расстояние, которое прошел состав до полной остановки
.▲
Задача . Определить уравнение изгиба выработки по которой будет продвигаться железнодорожный состав, перевозящий горную массу, если длина переходной кривой от прямолинейного пути к круговому равна l, а радиус изгиба равен r.
▲Кривизна переходной кривой 1/R равномерно изменяется от нуля до 1/r (рис.).
Следовательно
1/R =ks,
где k – коэффициент пропорциональности, s – длина дуги переходной кривой до текущей точки М(х,у).
Коэффициент k определяется из условия: при s = l 1/R = 1/r, откуда
1/r = kl
следовательно,
k =1/(rl)
Таким образом, имеем
1/R = s/(rl) (1)
Переходная кривая по всей длине l незначительно отклоняется от оси абсцисс, и величину s можно заменит абсциссой x точки М.
Следовательно, угловой коэффициент касательной dy/dx в точке М будет очень мал, и поэтому в дифференциальной формуле кривизны
(2)
величиной (dy/dx)2 можно принебречь. В результате уравнение (2) приобретает вид
(3)
Теперь, подстивим (3) в уравнение (1), и, полагая в нем s = x, получим уравнение
(4)
Интегрируя это уравнение дважды , получим его общее решение
Исходя из начальных условий: при х = 0 у = 0 и 
, надем значения произвольных постоянных С1 и С2
С1 = 0 и С2 = 0.
Таким образом, уравнение изгиба выработки по которой будет продвигаться железнодорожный состав, перевозящий горную массу будет иметь вид
.▲
Задача . Найти двухопорную балку ОА длиной l действует сосредоточенная сила Р, приложенная к точке В на расстояниях l1 и l2 от концов. Найти уравнение линии и определить прогиб h в точке В.
откуда 
▲Составим уравнение для изгибающего момента.
Рис. 68 В любом сечении С(х, у) части ОБ балки (рис. 68) получим
или 
(О В любом сечении D(Ј, щ) части В А балки имеем:
(2)
Моменты (1) и (2) подставим в дифференциальное уравнение упругой линии и получим два разных дифференциальных уравнения соответственно для частей ОБ и ВА балки:
Решая оба эти уравнения типа y"=f(x), получим для левой части балки: первый интеграл
второй интеграл, т. е. общее решение,
Для правой части балки: первый интеграл
второй интеграл, т. е. общее решение,
Начальные условия на опорах О и Л:
в точке В приложения силы Р:
Подставив начальные условия в первые и вторые интегралы, найдем:
(5) Решаем систему (5):
»
